Пуанкаре — Бендиксона Теория

Раздел качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамич. систем, относящийся к предельному (при ) поведению траекторий автономных систем двух дифференциальных уравнений 1-го порядка: (*) (условия, обеспечивающие существование и единственность решений, подразумеваются выполненными). В наиболее важном случае, когда в ограниченной части плоскости система имеет только конечное число равновесия положений, основной результат А. Пуанкаре (Н. Poinсаre, см. [1]) и И. Бендиксона (I. Bendixson, см. [2]) состоит в том, что любая ограниченная полутраектория (положительная или отрицательная) либо стремится к положению равновесия, либо навивается (наподобие спирали) на предельный цикл, либо аналогичным образом навивается на замкнутую сепаратрису или "сепаратрисный контур", состоящий из нескольких сепаратрис, "соединяющих" нек-рые положения равновесия, либо сама является положением равновесия или замкнутой траекторией. Наиболее часто используемое следствие: если полутраектория не выходит из нек-рой компактной области, не содержащей положения равновесия, то в этой области имеется замкнутая траектория. Для тех случаев, когда положений равновесия бесконечное число или когда полутраектория не является ограниченной, тоже имеется достаточно полное, хотя и более сложное описание (см. [4]). Наконец, можно рассматривать непрерывный поток на плоскости, не предполагая, что он задается дифференциальными уравнениями (*), ибо при этом все еще возможно использовать основные "технические" предпосылки П.- Б. т.: Жордана теорему и последования отображение для локальных сечений, гомеоморфных отрезку (существование их доказано в [7], см. также [8]). К П.- Б. т. примыкают: открытая А. Пуанкаре связь между вращением векторного поля на границе области и индексами положений равновесия внутри нее (см. Особой точки индекс);результаты И. Бендиксона и Л. Брауэра (L. Brouwer) о возможных типах поведения траекторий возле положений равновесия (см. [2] — [5]); результаты, уточняющие роль "особых траекторий" — положений равновесия, предельных циклов и сепаратрис — в "качественной картине", возникающей на фазовой плоскости (см. [6]). Хотя общая теория дает исчерпывающую информацию о вариантах поведения фазовых траекторий, возможных для систем (*), это не отвечает на вопрос, какой вариант реализуется для той или иной конкретной системы. Решению подобных вопросов (обычно не для отдельной системы, а для нек-рого класса систем) посвящено большое количество работ, в к-рых, как правило, существенно используется общая теория, но к-рые никоим образом не сводятся к ее автоматич. применению. Лит.:[l] Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М., 1947; [2] Бендиксон И., "Успехи матем. наук", 1941, в. 9, с. 191 — 211; [3] Brouwer L. E., "Verhandel. Konikl. nederl. akad. wet. Aid. natuurkunde. I. reeks", 1909, v. 11, p. 850-58; 1910, v. 12, p. 716-34; 1910, v. 13, № 1, p. 171-86; [4] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М., 1949; [5] Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; [6] Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г., Качественная теория динамических систем второго порядка, М., 1966; [7] Whitney H., "Ann. Math.", 1933, v. 34, № 2, p. 244-70; [8] Немыцкий В. В., "Вести. Моск. ун-та", 1948, № 10, с. 49-61. Д. В. Аносов.