Псевдориманово Пространство

Пространство аффинной связности (без кручения), касательное пространство в каждой точке к-рого является псевдоевклидовым пространством. Пусть А п есть n-пространство аффинной связности (без кручения) и lRn — касательное псевдоевклидово пространство в каждой точке пространства А n, в этом случае П. п. обозначается lVn. Как и в собственном римановом пространстве, метрич. тензор пространства iVn является невырожденным и абсолютно постоянным, а метрич. форма пространства lVn является квадратичной формой индекса l: gij(X) — метрич. тензор . Пространство lVn можно определить как n-мерное многообразие, в к-ром задана инвариантная дифференциальная квадратичная форма индекса l. Простейшим примером П. п. является пространство lRn. П. п. lVn наз. приводимым, если в окрестности каждой его точки существует такая система координат ( х 1, . . ., х п), что все координаты х i можно разделить на группы такие, что лишь для тех индексов ia, ia, к-рые принадлежат одной группе, а являются функциями только координат этой группы. В П. п. определяется кривизна пространства в двумерном направлении, она может быть истолкована как кривизна геодезической (неизотропной) 2-поверхности, проведенной в данной точке в данном двумерном направлении. Если значение кривизны в каждой точке одно и то же по всем двумерным направлениям, то оно является постоянным во всех точках (теорема Шура) и П. п. наз. в этом случае П. п. постоянной кривизны. Примером П. п. постоянной отрицательной кривизны является гиперболич. пространство lS п отрицательной кривизны — оно является П. п. n-lVn;пространство lRn есть П. п. нулевой кривизны. Лит.:[1] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [2] Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969; [3] Эйнштейн А., Собр. науч. трудов, т. 1, М., 1965. Л. А. Сидоров.