Псевдогрупповая Структура

На многообразии M — максимальный атлас Агладких локальных диффеоморфизмов многообразия Мна фиксированное многообразие V, все функции перехода между к-рыми принадлежат данной псевдогруппе Г локальных преобразований многообразия V. Псевдогруппа Г наз. определяющей псевдогруппой, а многообразие V — модельным пространством. П. с. с определяющей псевдогруппой Г наз. также Г-структурой. Более подробно, множество А V -значных карт многообразия М(т. е. диффеоморфизмов открытых подмножеств на открытые подмножества ) называется П. с., если а) любая точка принадлежит области определения нек-рой карты j из А;б) для любых карт из Афункция перехода является локальным преобразованием данной псевдогруппы Г; в) множество А является максимальным множеством карт, удовлетворяющих условию 2). Примеры П. с. 1) Псевдогруппа Г преобразований многообразия Vзадает П. с. (V, Г) на V, картами к-рой служат локальные преобразования из Г. Она наз. стандартной плоской Г-структурой .2) Пусть V=К n есть га-векторное пространство над или левый модуль над телом кватернионов , а Г — псевдогруппа локальных преобразований V, главные линейные части к-рых принадлежат группе GL(n, К). Соответствующая Г-структура на многообразии Месть структура гладкого многообразия при , комплексного аналитич. многообразия при и специального кватернионпого многообразия при . 3) Пусть Г — псевдогруппа локальных преобразований векторного пространства V, сохраняющих данный тензор S. Задание Г-структуры равносильно заданию интегрируемого ноля тензоров типа 5 на многообразии М. Напр., если S — невырожденная кососимметричная 2-форма, то Г-структура есть симплектич. структура. 4) Пусть Г — псевдогруппа локальных преобразовании пространства , сохраняющих с точностью до функционального множителя дифференциальную 1-форму Тогда Г-структура есть контактная структура. 5) Пусть V=G/H — однородное пространство группы Ли G, а Г — псевдогруппа локальных преобразований V, продолжающихся до преобразований из группы G. Тогда Г-структура паз. П. с., определяемой однородным пространством V. Примерами таких структур являются структура пространства постоянной кривизны (в частности, локально евклидова пространства), плоские конформные и проективные структуры. Пусть Г — транзитивная псевдогруппа Ли преобразований пространства порядка l;Г-структура Ана многообразии Мопределяет главное подрасслое-ние расслоения кореперов любого порядка kна M, состоящее из k-струй карт из А: Структурной группой расслоения pk, является группа изотропии k- гoпорядка Gk (Г) псевдогруппы Г, к-рая действует на Bk по формуле Расслоение pk наз. k-м структурным расслоением или Gk (Г)-структурой, определяемой П. с. А. Расслоение pl, где l — порядок псевдогруппы Г, в свою очередь, однозначно определяет П. с. Акак множество карт , для к-рых , если Геометрия расслоения pk характеризуется наличием канонической Gk (Г)-эквивариантной горизонтальной относительно проекции 1-формы со значением в пространстве , где — алгебра Ли группы изотропии . Она задается формулой где и удовлетворяет нек-рому структурному уравнению Маурера — Картана. Алгебра Ли инфинитезимажных автоморфизмов Г-структуры может быть охарактеризована как алгебра Ли векторных полей на В l, сохраняющих каноническую 1-форму ql. Основной проблемой теории П. с. является проблема описания П. с. па многообразии с определяющей псевдогруппой Г с точностью до эквивалентности. Две П. с. на многообразии иаз. эквивалентными, если одна из них может быть переведена в другую диффеоморфизмом многообразия. Пусть Г — глобализуемая транзитивная псевдогруппа преобразований односвязного многообразия V. Любое односвязное многообразие Мс Г-структурой Адопускает отображение , называемое разверткой Картана, к-рое локально является изоморфизмом Г-структур. Если Г-структура Аобладает нек-рым условием полноты, в частности, если многообразие Мкомпактно, то отображение r является изоморфизмом Г-структур и все Г-структуры рассматриваемого типа являются формами стандартной Г-структуры V, т. е. получаются из Vфакторизацией по свободно действующей дискретной группе автоморфизмов (V, Г). Так обстоит дело, напр., с (псевдо)римановыми структурами постоянной кривизны и с конформно плоскими структурами на компактных многообразиях М n, n>2. Важное место в теории П. с. занимает теория деформаций, первоначально развитая для комплексной структуры. В ней изучается вопрос об описании нетривиальных деформаций Г-структуры А, т.