Пространственные Формы

Связные полные римановы пространства постоянной кривизны. Проблема классификации n-мерных римановых пространств произвольной постоянной кривизны была сформулирована В. Киллингом (W. Killing, 1891), к-рый назвал ее проблем ой пространственных форм Клиффорда — Клейна; современная формулировка этой проблемы дана Х. Хопфом (Н. Hopf, 1925). Примеры П. ф.: евклидово пространство Е п размерности песть П. ф. нулевой кривизны (так называемое плоское пространство); сфера Sn в Е п+1 радиуса r>0 есть П. ф. положительной кривизны 1/r2; пространство Лобачевского (гиперболич. пространство) А" есть П. ф. отрицательной кривизны; плоский тор Т"=Е п/ Г , где Г- я-мерная решетка в Е n, есть П. ф. нулевой кривизны (плоское пространство). Любая П. ф. М n кривизны s. может быть получена из односвязной П. ф. той же кривизны факторизацией по дискретной группе Г движений пространства , действующих свободно (т. е. без неподвижных точек); при этом два пространства и М' п изометричны в том и только в том случае, когда Г и Г' сопряжены в группе всех движений М п. Тем самым проблема классификации П. ф. сводится к задаче описания всех несопряженных групп движений пространств Sn, Е п в Ln, действующих свободно. Пространство М п наз. сферической пространственной формой (с. п. ф.), если М n=Sn/ Г , евклидовой пространственной формой (е. п. ф.), если М n=^Е n/ Г . и гиперболической пространственной формой (г. п. ф.), если Mn=Ln/Г; фундаментальная группа М п изоморфна Г. При изучении проблемы классификации П. ф. ненулевой кривизны s аначение |s| не играет существенной роли, поэтому обычно считают |s| = l. Если пчетно, то единственным движением сферы Sn без неподвижных точек является центральная симметрия, переводящая каждую точку сферы в диаметрально противоположную; факторпространство S п/Гпо группе Г, порожденное этим движением, есть пространство Римана (эллиптич. пространство). Любая с. п. ф. четной размерности пизометрична либо Sn, либо Р n. Были классифицированы трехмерные с. п. ф. (см. |2]). Следующим шагом в направлении классификации с. п. ф. явилась общая программа решения этой проблемы и её применение для классификации с. п. ф. размерности 4k+1 (см. [4]). Поскольку сфера Sn компактна, дискретная группа Г движений Sn конечна, то для классификации n-мерных с, п. ф. достаточно описать все несопряженные конечные подгруппы ортогональной группы 0(n+1), действующие свободно на Sn. Говорят, что ортогональное представление л конечной группы G в En+1 свободно от неподвижных точек, если Для всех преобразование p(g).сферы Sn не имеет неподвижных точек; в Частности, п- точное представление. Согласно программе, изложенной в [4], решение проблемы с. п. ф. Клиффорда — Клейна можно разбить на ряд этапов. Во-первых, найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы абстрактная группа G Могла служить фундаментальной группой с. п. ф. и классифицировать такие группы; получается нек-рое семейство групп. Во-вторых, описать все неэквивалентные неприводимые ортогональные представления каждой из групп и выделить среди них представления, свободные от неподвижных точек. Наконец, определить все автоморфизмы групп и выяснить, какие из найденных представлений эквивалентны по модулю автоморфизма соответствующей группы. Эта программа в полном объеме была реализована в [5], что привело к исчерпывающей классификации с. п. ф. Любая конечная циклич. группа принадлежит семейству ; чтобы нециклич. группа порядка Nмогла служить фундаментальной группой n-мерной с. п. ф., необходимо (но не достаточно), чтобы Nбыло взаимно просто с n+1 и делилось на квадрат какого-либо целого числа. Глобальная теория е. п. ф. возникла как приложение нек-рых результатов геометрич. кристаллографии. В работе [3] был использован известный с кон. 19 в. список кристаллографич. групп в Е 3 и получена топологическая, а в компактном случае аффинная, классификация трехмерных е. п. ф. Теоремы Бибербаха о кристаллографич. группах в En приводят к структурной теории компактных е. п. ф. произвольной размерности. В частности, для любого существует только конечное число разных классов эквивалентных компактных е. п. ф. размерности п, при этом две компактные е. п. ф. М n=Е n/ Г . и М' п=Е п/Г ' аффинно эквивалентны, если и только если их фундаментальные группы Г и Г' изоморфны. Напр., любая двумерная компактная е. п. ф. гомеоморфна (а следовательно, аффинно эквивалентна) либо плоскому тору, либо поверхности Клейна. Абстрактная группа Г тогда и только тогда может служить фундаментальной группой компактной е. п. ф. М n, когда а) Г имеет нормальную абелеву подгруппу Г* конечного индекса, изоморфную ; б) Г* совпадает со своим централизатором в Г; в) Г не имеет элементов конечного порядка. Если такая группа Г реализована в виде дискретной подгруппы в группе всех движений пространства Е n, то Г* совпадает с множеством параллельных сдвигов, принадлежащих Г, и имеется нормальное накрытие рпространства М n=Е n/Гплоским тором Т n=Е n/Г *, определенное формулой р(Г* (х))=Г(х).для всех . Конечная группа Г/Г* изоморфна группе накрывающих преобразований для р, к-рая в свою очередь изоморфна голономии группе пространства М п. Компактная е. п. ф. всегда имеет конечную группу голономии. Справедливо и обратное утверждение: компактное риманово пространство, группа голономии к-рого конечна, является плоским. Доказано, что любая конечная группа изоморфна группе голономии нек-рой компактной е. п. ф. Аффинная классификация компактных е. п. ф. заданной размерности пвнастоящее время (1983) известна только для . При n=3 имеется 6 классов ориентируемых и 4 класса неориентируемых аффинно эквивалентных компактных е. п. ф. Классифицированы компактные е. п. ф. с циклич. группами голономии простого порядка. Семейство всех неизометричных плоских торов Т n можно параметризовать элементами из где GL+(n, R).- связная компонента единицы в GL(n, R), а изометрич. классификация компактных е. п. ф. размерности пнепосредственно следует из их аффинной классификации и изометрич. классификации торов Т n. Некомпактные е. п. ф. классифицированы (с точностью до изометрии) только в размерностях 2 и 3; в частности, двумерная некомпактная е. п. ф., отличная от E2, гомеоморфна цилиндру, либо листу Мёбиуса. Любая некомпактная е. п. ф. допускает действительную аналитич. ретракцию на компактное вполне геодезич. плоское подмногообразие; класс фундаментальных групп некомпактных е. п. ф. совпадает с классом фундаментальных групп компактных е. п. ф. Исследование двумерных г. п. ф. по существу началось в 1888, когда А. Пуанкаре (Н. Poincare,[1]), изучая дискретные группы дробно-линейных преобразований верхней полуплоскости Im(z)>0 комплексной плоскости — фуксовы группы, заметил, что их можно трактовать как группы движений плоскости Лобачевского L2. Пусть — группа движений L2, сохраняющих ориентацию; А 1 ,. . ., А 4т,, — выпуклый 4m-угольник в L2 с попарно конгруэнтными геодезич. сторонами где i=1, . . ., т, А 4т+1=А 1, сумма углов к-рого 2p. Элементы а i и bi,- из переводят A4i_3A4i_2 в A1iA4i-1 и A4i-2A4i-1 в A4i-1A4i соответственно (на рис. показан случай т=2). Тогда подгруппа , порожденная элементами а i, bi, действует на L2 без неподвижных точек, а заданный 4m-уголъник служит фундаментальной областью этой группы; при этом Г имеет единственное определяющее соотношение Факторпространство L2/Г является ориентируемой" компактной г. п. ф. рода т, и каждая двумерная ориентируемая компактная г. п. ф. может быть получена таким способом. Пусть теперь Г — абстрактная группа, изоморфная фундаменталь ной группе ориентируемой замкнутой поверхности рода т. Тогда существует непрерывное отображение , удовлетворяющее условиям: а) для всех отображение является мономорфизмом Г в ; б) подгруппы Г x=jx (Г) и Г x'=jx' (Г) сопряжены в Xтогда и только тогда, когда х=х';в) если дискретная подгруппа изоморфна Г, то она сопряжена с Г х для нек-рого . Таким образом, семейство неизоморфных компактных г. п. ф. размерности 2 рода тзависит от 6т-6 действительных параметров. Двумерная компактная г. п. ф. естественным образом наделяется структурой римановой поверхности, и только что сформулированное утверждение первоначально было доказано средствами теории униформизации; геометрич. доказательство было дано в [7]. Указанные результаты обобщаются на некомпактные г. п. ф., гомеоморфные сфере с конечным числом ручек и дырок, а также на неориентируемые г. п. ф. размерности 2. В противоположность двумерному случаю не существует непрерывных семейств неизометричных компактных г. п. ф. размерности больше 2. А именно, компактные г. п. ф. размерности , имеющие изоморфные фундаментальные группы, изометричны. Других общих результатов, непосредственно относящихся к классификации n-мерных г. и. ф., в настоящее время (1983) нет; примеры г. п. ф. размерности приведены в [6], [8]. Кроме римановых П. ф. изучались их обобщения: нсевдоримановы, аффинные и комплексные П. ф. и П. ф. симметрия, пространств (см., напр., [9]). Лит.:[1] Пуанкаре А., Избр. труды, т. 3, М., 1974; [2] Тhrеlfаll W., Sеifеrt H.; "Math. Ann.", 1930, Bd 104, S. 1-70; [3] Nоwасki W., "Comment, muth. helv.", 1934, v. 7, p. 81-93; [4] Vinсеnt G., там же; 1947, v. 20, p. 117-71; [5] Вольф Д ж., Пространства постоянной кривизны, пер. сангл.,М., 1982; [6] Винберг Э. Б., "Матем. сб.", 1969, т. 78, № 4, с. 633-39; [7] Натан зон С. М., "Успехи матем. наук", 1972, т. 27, в. 4, с. 145-60; [8] Мillson J. J., "Ann. Math.", 1976, v. 104, p. 235-47; [9] Воrеl A., "Topology", 1963, № 2, p. 111-22. Н. Р. Камышанский.