Простой Итерации Метод

Метод приближенного решения системы линейных алгебраич. уравнений Ах=b, к-рая преобразуется к виду х=Вх+с и решение к-рой находится как предел последовательности xk+1=Bxk+c, k=0, 1, . . ., где х 0 — начальное приближение. Для сходимости П. и. м. при любом начальном приближении х 0 необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы Вбыли по модулю меньше единицы; и достаточно, чтобы какая-либо норма матрицы Вбыла меньше единицы. Если для нормы матрицы В, согласованной с нормой вектора х, имеет Место оценка , то П. и. м. сходится со скоростью геометрич. прогрессии и для погрешности метода верна оценка Для случая кубической, октаэдрической и сферической векторных норм условие будет выполнено, если имеют место оценки: Простейший вариант метода соответствует случаю, когда в качестве матрицы Ввыбирают матрицу E-А , где Е — единичная матрица. Если все диагональные элементы матрицы Аотличны от нуля, то, выбирая b=D-1(D-А).и c=D-1b, где D-диагональная матрица, диагональные элементы к-рой совпадают с диагональными элементами матрицы А , получают Якоби метод или метод одновременных смещений. Частным случаем П. и. м. является метод В=Е-tA и с=tb, где т — итерационный параметр, к-рый выбирается из условия минимума по t нормы матрицы Е-t А. Если g1 и g2 — минимальное и максимальное собственные значения симметричной положительно определенной матрицы А, то при для сферич. нормы матрицы Вимеет место оценка , где Для нелинейной системы алгебраич. уравнений П. и. м. имеет вид Вопрос о выборе итерационного параметра т решается в зависимости от дифференциальных свойств функций <Pi(z). Часто он подчинен требованию локальной сходимости метода в окрестности решения. Лит.:[1] Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М., 1963; [2] Б е-резинИ. С., Жидков Н. П., Методы вычислении, 3 изд., т. 1, М., 1966; [3] Ортега Д ж., РейнболдтВ., Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, пер. с англ.. М., 1975; [4] СамарскийА. А., Николаев Ё. С., Методы решения сеточных уравнений, М., 1978. Е. С. Николаев.