Производная

Одно из основных понятий математич. анализа. Пусть действительная функция f(x) действительного переменного хопределена в нек-рой окрестности точки х 0 и существует конечный или бесконечный предел (*) Этот предел и наз. производной от функции f(х).в точке х а. Если положить y=f(x), то предел (*) запишется так: Используют также обозначения и нек-рые другие. Операцию вычисления П. наз. дифференцированием. Если производная f'( х 0).конечна, то функцию f(х).наз. дифференцируемой в точке х 0. Функцию, дифференцируемую в каждой точке нек-рого множества, наз. дифференцируемой на этом множестве. Дифференцируемая функция всегда непрерывна. Однако существуют непрерывные функции, не имеющие П. во всех точках заданного промежутка (см. Недифференцируемая функция). Пусть функция дифференцируема в нек-ром промежутке. Ее производная f' (х).может оказаться при этом разрывной функцией. Однако по классификации Бэра (см. Вара классы).она всегда является функцией 1-го класса и обладает свойством Дарбу: приняв два значения, принимает и все промежуточные. Обобщением понятия П. является понятие П. по множеству. Пусть действительная функция f(x).определена на нек-ром множестве Едействительных чисел, x0 — предельная точка этого множества, , и существует конечный или бесконечный предел к-рый и наз. производной от функции f(х).по множеству Ев точке х 0 и обозначают символом f'E( х 0). П. функции по множеству есть обобщение понятия П. Разновидностями этого обобщения являются понятия односторонней производной, производного числа, аппроксимативной производной. Данное определение П. (и его обобщение), а также простейшие ее свойства почти без изменений распространяются на комплексные функции и вектор-функции действительного или комплексного неременного. Кроме того, существуют понятия П. скалярной функции точки евклидова пространства Rn (см. Градиент), П. функции множества по мере (в частности, по площади, по объему и т. п.), понятие П. распространяют на вектор-функции точки абстрактного пространства (см. Дифференцирование отображения). О геометрич. и механич. истолковании П., о простейших правилах дифференцирования, о П. высших порядков, о частных П., а также лит. см. в ст. Дифференциальное исчисление. Г. П. Толстов.