Проективный Модуль

Модуль Р, удовлетворяющий любому из следующих эквивалентных условий: 1) для любого эпиморфизма модулей и любого гомоморфизма найдется такой гомоморфизм g: Р С, что b=ag; 2) модуль Рявляется прямым слагаемым свободного модуля; 3) функтор Ноm ( Р,-).точен; 4) любой эпиморфизм модулей расщепляется. Теорема Капланского [2], утверждающая, что всякий П. м. является прямой суммой П. м. со счетным числом образующих, сводит изучение структуры П. м. к счетному случаю. П. м. с конечным числом образующих изучаются в алгебраической K-теории. Простейшим примером П. м. является свободный модуль. Над кольцами, разложимыми в прямую сумму, всегда существуют П. м., отличные от свободных. Совпадение классов проективных и свободных модулей доказано для локальных колец [2], колец многочленов над полем от нескольких неременных (см. [3], [4]). Лит.:[1] Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Кар1anskу J., "Ann. Math.", 1958, v. 68, № 2, p. 372-77; [3] Суслин А. А., "Докл. АН СССР", 1976, т. 229, № 5, с. 1063-66; [4] Qui11еn D., "Invent. Math.", 1978, v. 36, p. 167-71. В. Е. Говоров.