Проективная Плоскость

Двумерное проективное пространство,- инцидентностная структура , где элементы множества наз. точкам и, элементы множества — прямыми, а I — отношение инцидентности. Инцидентностная структура удовлетворяет следующим аксиомам: 1) для любых двух различных точек ри qсуществует единственная прямая Lтакая, что pIL и qIL; 2) для любых двух различных прямых Lи Мсуществует единственная точка ртакая, что pIL и рIМ; 3) существуют четыре точки, никакие три иа к-рых не инцидентны одной прямой. Напр., пучок П прямых и плоскостей трехмерного аффинного пространства, проходящих через точку О, является П. п., если в качестве проективной точки считать прямую пучка П, а в качестве проективной прямой — плоскость из П. В этой интерпретации получают прозрачный геометрич. смысл однородные координаты точки П. п. над полем как координаты какого-либо вектора прямой, изображающей эту точку (см. Проективная геометрия, Проективные координаты), Другим примером является П. п., состоящая из семи точек Ai, i=l, . . ., 7, и семи прямых , , , , (рис. 1),- представитель класса конечных проективных плоскостей. П. п. Р(2, п).наз. конечной проективной плоскостью порядка п, если отношение инцидентности удовлетворяет еще одной аксиоме: 4) существует прямая, инцидентная ровно n+1 точке. В Р(2, п).каждая точка (прямая) инцидентна n+1 прямой (точке), а число точек плоскости равно числу прямых и равно n2+n+1. Остается невыясненным (1983) вопрос, для каких значений псуществует П. п. Р(2, п). Доказано существование конечной П. п., порядок к-рой есть степень простого числа (см. [4]). Доказано также (см. [5]) отсутствие П. п. Р(2, п).для широкого класса чисел: если псравнимо с 1 или 2 по модулю 4 и если в разложении этого числа на простые множители встречается в нечетной степени хотя бы одно простое число, сравнимое с 3 по модулю 4, то Р(2, п).не существует; таковы, напр., n=6, 14, 21, 22, .... Вопрос относительно n=10, 12, 15, 18, ... остается открытым. Важной задачей теории конечных П. п. является изучение подплоскостей заданной плоскости P(2, п). Так, если Р(2, т).является собственной подплоскостью конечной П. п. Р(2, п), то или m2=n (см. [5]). Специфическим для П. п. является понятие двойственности. Две П. п. наэ. двойственными, или дуальными, если между точками (прямыми) одной плоскости и прямыми (точками) другой можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее инцидентность. Нек-рые П. п. (напр., П. п. над полем k).допускают двойственное отображение на себя, к-рое наз. корреляцией, а П. п., допускающие корреляцию, наз. автодуальными. Для П. п. имеет место т. н. малый принцип двойственности: если верно нек-рое предложение о точках и прямых П. п., сформулированное только в терминах инцидентности между ними, то будет верно предложение , двойственное , т. е. предложение, к-рое получается из заменой слова "точка" на слово "прямая" и наоборот. Изоморфное отображение П. п. на себя наз. коллинеацией. Коллинеация конечной П. п. Р(2, n) является подстановкой множества точек и подстановкой множества прямых, причем эти подстановки подобны. Конечная П. п. наз. дезарговой, если она имеет группу коллинеаций, дважды транзитивную на ее точках. Группа коллинеаций дезарговой П. п. PG(2, ph).имеет порядок Группа коллинеаций недезарговой П. п. Р(2, п).имеет порядок, не превосходящий где . Порядки групп коллинеаций известных недезарговых П. п. но превосходят порядков групп коллинеаций дезарговых плоскостей того же порядка. На рассмотрении 53 типов множеств Т(G) = , определенных для полной группы коллинеаций G, основана классификация Ленца — Бартолоцци П. ц. Одним из основных путей изучения П. п. является введение в ней координат и тернарной операции. Каждому возможному типу П. п. классификации Ленца — Бартолоцци соответствует система алгебраич. законов, к-рой должно удовлетворять натуральное тело П. п., определенное через тернарную операцию. Напр., П. п. является дезарговой (папповой) тогда и только тогда, когда во всех ее натуральных телах выполняется ассоциативный (коммутативный) закон. Де-заргоиа конечная П. п. Р(2, п).является папповой. Особенность дезарговой П. н. PG(2, п).в том, что она обладает коллинеацией порядка n2+n+1, циклической на точках и прямых. Этот результат дает возможность представить П. п. PG(2, п).в виде цишщч. таблицы. Такое представление PG(2, п).заключается в том, что точки плоскости, занумерованные натуральными числами от 1 до n2+n+1, располагаются в прямоугольной таблице из n+1 строки и n2+n+1 столбца таким образом, что каждый столбец, означающий прямую со всеми на ней точками, получается прибавлением к каждому элементу предыдущего столбца единицы по модулю п 2+п+1. Напр., представление плоскости Р (2, 2) имеет вид Плоскости Р(2, n), где , единственны с точностью до изоморфизма — это дезарговы плоскости или плоскости Галуа (см. [6]), а уже для n=9 известны четыре неизоморфные плоскости (см. [7]). Если к аксиомам П. п. и предложению Дезарга присоединить аксиомы порядка (к-рыми описывается разделенность двух пар точек, лежащих на одной прямой: напр., на рис. 2 пара С, D разделяет пару А, В, а пара А, С не разделяет пару В, D).и аксиому непрерывности, то полученная П. п. оказывается изоморфной действительной аффинной плоскости, пополненной несобственными элементами: к каждой прямой присоединяется несобственная (бесконечно удаленная) точка, к параллельным прямым — одна я та же, а к непараллельным — разные, причем все несобственные точки лежат на одной несобственной прямой. П. п. наз. топологической, если множества ее точек и прямых являются топология, пространствами, причем отношение инцидентности является непрерывным. В топология, плоскости тернарная операция непрерывна по всем своим аргументам. С топологич. точки зрения множество точек действительной П. п. (равно как и множество прямых) представляет собой замкнутое неориентируемое многообразие, эйлерова характеристика к-рого равна 1. Лит.:[1] Кокстер X., Действительная проективная плоскость, пер. с англ., М., 1959; [2] Бэр Р., Линейная алгебра и проективная геометрия, пер. с англ., М., 1955; L3] Скорняков Л. А., "Успехи матем. наук", 1951, т. 6, в. 6, с. 112-54; [4] Картеси Ф., Введение в конечные геометрии, пер. е англ., М., 1980; [5] Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962, гл. 20; [6] Dеmbоwski P., Finite geometries, В. -N.Y., 1968; [7] Room T. G., Кirkpatrick P. В., Miniquaternion geometry, Camb., 1971. В. В. Афанасьев.