Привалова Операторы

Параметры Привалова,- операторы, позволяющие выразить условие гармоничности функции без использования частных производных. Пусть и(х) — локально интегрируемая функция в конечной области Dевклидова пространства — объем шара В(х; h).радиуса hс центром , расположенного в D; Верхний и нижний операторы Привалова и соответственно определяются формулами Если верхний и нижний П. о. совпадают, то оператор Привалова D*u(x) определяется формулой Если функция и(х).имеет непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно в точке , то в этой точке существует П. о. D*u(x), и он равен значению оператора Лапласа: D*u(x)= Du(x). Справедлива теорема Привалова: если непрерывная в области Dфункция и(х).удовлетворяет всюду в Dусловию то и(х) — гармонич. функция в D. Отсюда вытекает, что непрерывная функция и(х).в Dявляется гармонической тогда и только тогда, когда во всякой точке , начиная с достаточно малого h,Dhu(x)=0 или, иначе, Среднее значение по объему шара здесь можно заменить средним значением по площади сферы. Лит.:[1] Привалов И. И., "Матем. сб.", 1925, т. 32, с. 464-71; [2] его же, Субгармонические функции, М.- Л., 1937; [3] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964. Е. Д. Соломенцев.