Этимологический словарь Крылова
присяга
Это общеславянское слово образовано от глагола присгати, образованного приставочным способом от сягати – "касаться". Буквальное значение – "прикосновение". Такое переосмысление связано с тем, что, принося клятву, обычно прикасались к какому-либо священному предмету (как, например, к Библии).