Представление Симметрической Группы

Линейное представление группы Sm над каким-либо полем К. Если char K=0, то все конечномерные П. с. г. вполне приводимы и определены над Q (иначе говоря, все неприводимые конечномерные представления над Q абсолютно неприводимы). Неприводимые конечномерные представления группы Sm над Q классифицируются следующим образом. Пусть d — какая-либо Юнга диаграмма, отвечающая разбиению l= (l1,...,lr).числа т, Rd (соответственно С d) — подгруппа группы Sm, состоящая из всех подстановок, переводящих каждое из чисел 1,2,..., тв число, находящееся в той же строке (соответственно столбце) диаграммы d. Тогда и где — разбиение числа т, сопряженное к разбиению l. Существует единственное неприводимое представление группы Sm (зависящее только от l) со следующими свойствами: 1) в пространстве Ul имеется такой ненулевой вектор и d, что Т l(g)ud=ud для любого ; 2) в пространстве Ul имеется такой ненулевой вектор и 'd, что Т l(g)u'd=e(g)u'd для любого , где e(g)=+l — четность подстановки g. Представления, отвечающие различным разбиениям, не эквивалентны, и ими исчерпываются все неприводимые представления группы Sm над Q. Векторы и d и u'd определены однозначно с точностью до умножения на число. Для всех диаграмм, отвечающих разбиению l, эти векторы нормируются таким образом, что gud=ugd и gu'd=u'gd для любого , где gd обозначает диаграмму, получаемую из dприменением ко всем числам подстановки g. Векторы и d (соответственно и 'd), соответствующие стандартным диаграммам d, образуют базис пространства Ul; в этом базисе операторы представления Т l записываются целочисленными матрицами. Размерность представления Т l равна где li=li+r-i (i=l, . . ., r), а произведение в знаменателе второго выражения берется по всем клеткам cij таблицы Юнга tl, причем lij обозначает длину соответствующего крюка. Разбиению (т).отвечает тривиальное одномерное представление группы Sm, а разбиению (1,...,1) — нетривиальное одномерное представление e (четность). Разбиению l', сопряженному к l, отвечает представление eТ l. Пространство Ul', канонич. образом (с точностью до гомотетии) отождествляется с пространством Ul так, что Tl'(g).e(g).l(g).для любого ; при этом можно считать, что и'd=ud,, где d'- диаграмма, получаемая из dтранспонированием. Построение полной системы неприводимых П. с. г. производится с помощью Юнга симметризаторов, позволяющих получить разложение регулярного представления. Если d — диаграмма Юнга, отвечающая разбиению l, то представление Tl, эквивалентно П. с. г. Sm в левом идеале групповой алгебры , порожденном симметризатором Юнга е d. Апостериорное описание элемента е d состоит в следующем: Tm( е d)=0 при , а Ta( е d) — оператор ранга 1, действующий по формуле Ta( е d) и=( и d, u)u'd для любого , где ( , ) — подходящим образом нормированное инвариантное скалярное умножение в пространстве Ul -При этом Производящая функция для характеров представлений Т l дается Фробениуса формулой. Однако для вычисления отдельных значений характеров удобнее пользоваться рекуррентными соотношениями. Наиболее эффективным из них является правило Мурнагана — Накаямы: пусть — значение характера представления Т l на классе сопряженных элементов группы Sm, определенном разбиением m числа m, и пусть разбиение m, содержит число р. Через обозначается разбиение числа m-р, получаемое из m выбрасыванием числа р. Тогда где сумма берется по всем разбиениям числа m- р, получаемым удалением косого крюка длины риз таблицы Юнга tl, а обозначает высоту удаленного косого крюка. Имеется также метод (см. [5]), позволяющий найти целиком таблицу характеров группы Sm, т. е. матрицу A=||а lm||. Пусть Ml, есть П. с. г. S т, индуцированное тривиальным одномерным представлением подгруппы Rl=Rd, где d — диаграмма Юнга, отвечающая разбиению l. И пусть Ml=SmmlmTm, а M=||mlm||. Если считать, что строки и столбцы матрицы Мрасположены в порядке лексикографич. убывания индексов (разбиений), то это будет нижняя треугольная матрица с единицами на диагонали. Значение характера представления Ml на классе равно где cm — порядок централизатора подстановки из класса. Матрица В=||blm|| является верхней треугольной, и имеет место соотношение ММ Т=ВС -1 В Т, где C=diag(cm), из к-рого однозначно определяется матрица М. После этого матрица Анаходится по формуле А = М -1 В. Ограничение представления Т l группы Sm на подгруппу Sm-1 находится по правилу ветвления: где суммирование распространяется на те i, для к-рых li>li+1 (включая r). Ограничение представления Т l на подгруппу Am при абсолютно неприводимо, а при l=l' распадается над квадратичным расширением поля в сумму двух неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений одинаковой размерности. Получаемые таким образом представления группы А m исчерпывают все ее неприводимые представления над . О II. с. г. в тензорах см. в ст. Представления классических групп. Разработана также теория модулярных П. с. г. (см., напр., [5]). Лит.:[1] Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, пер. с англ., М., 1947; [2] Мурнаган Ф. Д., Теория представлений групп, пер. с англ., М.. 1950; [3] Хамермеш М., Теория групп и ее применение к физическим проблемам, пер. с англ., М., 1966; [4] Кэртис Ч., Райнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969; [5] Джеймс Г., Теория представлений симметрических групп, пер. с англ., М., 1982. Э. Б. Винберг.