Представление Группы

Гомоморфизм группы в группу всех обратимых преобразований нек-рого множества V. Представление р группы Gпаз. линейным, если Vявляется векторным пространством над нек-рым полем k, а преобразования r(g), , — линейными преобразованиями. Часто линейные представления называют для краткости просто представлениями (см. Представлений теория). В теории представлений абстрактных групп наиболее разработанным разделом является теория конечномерных представлений конечных групп (см. Конечной группы представление, Представление симметрической группы). Если G- тонологич. группа, то рассматриваются непрерывные линейные представления группы Gв топологическом векторном пространстве V(см. Непрерывное представление, Представление топологической группы). Если G — группа Ли, а V — конечномерное пространство над или , то непрерывное линейное представление автоматически является вещественно аналитическим. Аналитические и дифференцируемые представления группы Ли можно определить и в бесконечномерном случае (см. Аналитическое представление, Бесконечномерное представление). Всякому дифференцируемому представлению r группы Ли Gсоответствует нек-рое линейное представление ее алгебры Ли — дифференциал представления r. Если G — связная группа Ли, то ее конечномерные представления полностью определяются своими дифференциалами. Наиболее разработанные разделы теории представлений топологич. групп — это теория конечномерных линейных представлений полупростых групп Ли, к-рая часто формулируется на языке алгебр Ли (см. Конечномерное представление, Представления классических групп, Картана теорема о старшем векторе), теория представлений компактных групп, теория унитарных представлений. Для алгебраич. групп имеется теория рациональных представлений, во многом аналогичная теории конечномерных представлений групп Ли. Лит.:[1] Желобенко Д. II., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970; [2] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, 2 изд., М., 1978; [3] Наймарк М. А., Теория представлений групп, М., 1976; [4] Желобенко Д. П., Штерн А. И., Представления групп Ли, М., 1981. А. Л. Онищик.