Представления Классических Групп

В тензорах — линейные представления групп GL(V), SL(V), 0(V,f), SO(V, f), Sp(V,f).(где V есть n-мерное векторное пространство над полем k, f — невырожденная симметрическая или знакопеременная билинейная форма на V).в инвариантных подпространствах тензорных степеней Tm(V).пространства V. Если k — поле нулевой характеристики, то все неприводимые полиномиальные линейные представления указанных групп реализуются в тензорах. В случае перечисленные выше группы являются комплексными группами Ли. Для всех них, кроме GL(V), все (дифференцируемые) линейные представления полиномиальны; всякое линейное представление группы GL(V).имеет вид , где , a R — полиномиальное линейное представление. Классические компактные группы Ли Un, SUn, О п, SOn, Spn имеют те же комплексные линейные представления и те же инвариантные подпространства в пространствах тензоров, что и их комплексные оболочки Поэтому результаты теории линейных представлений, полученные для классических комплексных групп Ли, переносятся на соответствующие компактные группы и наоборот ("унитарный трюк" Вейля). В частности, с помощью интегрирования по компактной группе доказывается полная приводимость линейных представлений классических комплексных групп Ли. Естественное линейное представление группы GL(V).в пространстве Tm(V).определяется по формуле В том же пространстве определено линейное представление симметрич. группы Sm: Операторы этих двух представлений перестановочны; тем самым в Tm(V).определено линейное представление группы . Если char k=0, то пространство Tm(V).может быть разложено в прямую сумму минимальных — инвариантных подпространств: Здесь суммирование происходит по всем разбиениям Кчисла т, содержащим не более пслагаемых, Ul — пространство абсолютно неприводимого представления Tl группы Sm, отвечающего разбиению l(см. Представление симметрической группы),a Vl -пространство нек-рого абсолютно неприводимого представления Rl группы GL(V). Разбиения l удобно представлять в виде наборов (l1, l2, . . ., ln) целых неотрицательных чисел, удовлетворяющих условиям Подпространство разлагается в сумму минимальных GL(V)-инвариантных подпространств, в каждом из к-рых реализуется представление Rl. Эти подпространства могут быть явно получены применением к Tm(V) Юнга симметризаторов, связанных с разбиением l. Напр., для разбиения l=( т,0, . . ., 0) (соответственно l=(1,...,1,0,...,0) при ) dim Ul = 1 и есть минимальное GL(V)-инвариантное подпространство, состоящее из всех симметрич. (соответственно кососимметрич.) тензоров. Представление Rl характеризуется следующими свойствами. Пусть — подгруппа, состоящая из линейных операторов, к-рые в нек-ром базисе ( е 1,...,е п).пространства Vзаписываются верхними треугольными матрицами. Тогда операторы , имеют единственный (с точностью до числового множителя) общий собственный вектор vl, называемый старшим вектором представления Rl. Соответствующее собственное значение (старший вес представления Rl) равно , где bii есть i-й диагональный элемент матрицы оператора bв базисе (e1 ,. . ., е п). Представления Rl,, отвечающие различным разбиениям l, не эквивалентны. Характер представления Rl находится по формуле Вейля: где z1, . . ., z п- корни характеристич. многочлена оператора g, Wl — обобщенный определитель Вандер-монда, отвечающий разбиению l (см. Фробениуса формула), W0- обычный определитель Вандермонда. Размерность представления Rl, равна , где li=li+n-i. Ограничение представления Rl, на унимодулярную группу SL(V).неприводимо. Ограничения на SL(V).представлений Rl, и Rm, эквивалентны тогда и только тогда, когда mi=li+s (s не зависит от i). Ограничение представления Rl группы GLn(k).на подгруппу GLn-1(k) находится по правилу: где m пробегает все наборы (m1, . . ., m.n-1), удовлетворяющие условию Для всякой диаграммы Юнга d, отвечающей разбиению l, тензор (обозначения см. в ст. Представление симметрической группы).является результатом альтернирования по столбцам диаграммы dтензора , где ik — номер строки диаграммы d, в к-рой находится число k. Тензоры, построенные таким образом по всем стандартным диаграммам d, образуют базис минимального Sm -инварИантного подпространства , в к-ром реализуется представление Т l, группы Sm. Линейное представление ортогональной группы 0(V, f) в пространстве Tm(V).устроено следующим образом. Имеется разложение в прямую сумму двух -инвариантных подпространств: где состоит из бесследных тензоров, т. е. тензоров, свертка к-рых с формой f по любым двум индексам равна нулю, а Пространство в свою очередь разлагается в прямую сумму минимальных -инвариантных подпространств: где . При этом тогда и только тогда, когда сумма высот первых двух столбцов таблицы Юнга, отвечающей разбиению l, не превосходит п, и в этом случае есть пространств абсолютно неприводимого представления группы 0(V, f). Представления , отвечающие различным разбиениям l, не эквивалентны. Если разбиение l удовлетворяет условию , то после замены первого столбца его таблицы Юнга столбцом высоты п-l'1 получается таблица Юнга нек-рого разбиения , также удовлетворяющего этому условию. Соответствующие представления группы O(V, f) связаны соотношением (в частности, они имеют одинаковую размерность). Ограничение представления R0l, на подгруппу SO(V, f) абсолютно непрпводимо, за исключением случая, когда пчетно и (т. е. число слагаемых разбиения l равно n/2). В этом последнем случае оно распадается над полем kили его квадратичным расширением в сумму двух неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений одинаковой размерности. При вычислении размерности представления можно считать, что (в противном случае следует заменить Кна X). Пусть li=li+n/2-i. Тогда при нечетном п , а при четном пи При последняя формула дает половину размерности представления , т. е. размерность каждого из соответствующих ему абсолютно неприводимых представлений группы SO(V, f). Разложение пространства Tm(V).относительно симплектич. группы Sp(V, f) аналогично разложению относительно ортогональной группы, с той разницей, что тогда и только тогда, когда . Размерность представления находится в этом случае по формуле где li=li+n/2-i+1. Лит.:[1] Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, пер. с англ., М., 1947; [2] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970; [3] Xамсрмеш М., Теория групп и ее применение к физическим проблемам, пер. с англ., М., 1966. Э. Б. Винберг.