Представляющая Функция

Непрерывная функция f на топологич. пространстве X, снабженном непрерывным действием нек-рой группы G, орбита к-рой в пространстве всех непрерывных функций на Xпорождает конечномерное подпространство. П. ф. иногда называют также сферическими, или почти инвариантными, функциям и. П. ф. со значениями в поле или образуют G-инвариантную k-подалгебру F(X, k)G в алгебре всех k-значных непрерывных функций F(X, k).на X. В случае, когда X=G- топологич. группа, действующая на себе при помощи левых сдвигов, F(X, k)a=F(G, k)G совпадает с подпространством в F(G, k), порожденным матричными элементами конечномерных непрерывных линейных представлений группы G. Если при этом Gкомпактна, то можно ограничиться матричными элементами неприводимых представлений. Напр., если G= Т — группа вращений плоскости, то П. ф. на G — это тригонометрич. полиномы. Другим примером являются классические сферич. функции на сфере, к-рые суть П. ф. для стандартного действия группы вращении сферы. Если G — компактная топологич. группа, непрерывно действующая на пространство X, являющемся объединением счетного числа компактов, то F(X, k)G плотно в F(X, k). относительно компактно открытой топологии (см. Петера — Вейля теорема). Аналогичные утверждения справедливы для П. ф. различных степеней гладкости на дифференцируемом многообразии с гладким действием компактной группы Ли. С другой стороны, если G не допускает нетривиальных непрерывных гомоморфизмов в компактную группу (например, G — связная полупростая группа Ли без компактных простых факторов), то всякая П. ф. на компактном пространстве Xс непрерывным действием группы G является G-инвариантной [4]. Если гладкое действие компактной группы Ли G на дифференцируемом многообразии Xимеет лишь конечное число типов орбит, то алгебра всех П. ф. класса конечно порождена над подалгеброй всех G-инвариантных функций класса (см. [5]). В частности, для однородного пространства Xалгебра конечно порождена и отождествляется с алгеброй регулярных функций на аффинном однородном алгебраич. многообразии над , множество вещественных точек к-рого совпадает с X. Важной для приложений является задача о разложении G-модуля в прямую сумму простых G-модулей. В случае, когда X — симметрическое однородное пространство компактной группы G, она была решена Э. Картаном [l]. Обобщением П. ф. являются представляющие сечения нек-рого векторного G-расслоения Енад G-пространством Х, т. е. непрерывные сечения, G-орбиты к-рых порождают конечномерные подпространства и пространстве Г(E) всех непрерывных сечений, напр, представляющие тензорные поля на гладких многообразиях с гладким действием группы Ли G; они образуют G-подмодуль (см. [5]). Если группа G компактна, то подмодуль Г(E)G плотен в Г(Е). В случае, когда X — симметрическое однородное пространство группы G, изучено (см. [3]) разложение G-модуля Г(Е)G на простые компоненты. Если же X — компактное однородное пространство полупростой группы Ли G без компактных факторов со связной стационарной подгруппой, то (см. [2]). Лит.:[1] Cartan E., "Rend. Circ. Mat. Palermo", 1929, v. 53, p. 217-52; [2] Дао Ван Ча, "Успехи матем. наук", 1975, т. 30, в. 5, с. 203-04; [3] Дзядык Ю. В., "Докл. АН СССР", 1975, т. 220, № 5, с. 1019-22; [4] Лукацкий А. М., "Успехи матем. наук", 1971, т. 26, в. 5, с. 212-13; [5] Онищик А. Л., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1976, т. 35, с. 235-64. А. Л. Онищик.