Потенциальное Поле

Градиентное поле,- векторное поле, образованное градиентами гладкой скалярной функции f(t). нескольких переменных t=(t1, ... , tn), принадлежащих нек-рой области Т n -мерного пространства. Функция f(t). наз. скалярным потенциалом (потенциальной функцией) этого поля. П. п. вполне интегрируемо в Т: Пфаффа уравнение(grad f(t), dt) = 0 имеет в качестве ( п-1)-мерных интегральных многообразий линии (n=2) или поверхности (п 3) уровня потенциал а f(t). Любое регулярное вполне интегрируемое в Т кова-риантное поле v=(v1, v2,... , vn).получается умножением П. п. на скаляр: Скаляр 1/c(t).наз. интегрирующим множителем уравнения Пфаффа (v(t), dt)=0. Признаком потенциальности поля va(t)(c(t)=1).служат равенства означающие, что поле v(t).является безвихревым (см. Вихрь). Понятие П. п. широко используется в механике и физике. Большинство силовых и электрич. полей можно рассматривать как П. п. Напр., если f(t).выражает давление в точке tидеальной жидкости, заполняющей область Т, то вектор F=-grad f. dw равен равнодействующей сил давления, приложенной к элементу объема dw. Если f(t) — температура нагретого тела Тв точке t, то вектор F= -k .grad f, где k — коэффициент теплопроводности, равен плотности теплового потока, идущего в сторону менее нагретых участков тела (в направлении, ортогональном изотермич. поверхностям f= const). Л. П. Купцов.