Постникова Система

Натуральная система, гомотопическая резольвента, П-разложение общего типа,- последовательность расслоений слоями к-рых являются Эйленберга — Маклейна пространства К(p п, п), где p п — нёк-рая группа (абелева при п>1). Введена М. М. Постниковым [1]. Пространство Х п наз. n-м членом (или n-м этажом) П:с. . П. с. наз. сходящейся к пространству X, если ее обратный предел слабо гомотопически эквивалентен пространству X. В этом случае пространство А' наз. пределом П. с. . Морфизмом П. с. наз. последовательность непрерывных отображений fn:XnYn, для к-рых диаграмма гомотопически коммутативна. М орфизм индуцирует отображение , называемое его пределом. Из определения П. с. следует, что для каждого и 1 отображение pn является ( п-1)-эквнвалентностью (см. Гомотопический тип), в частности pi(Xn-1)pi(Xn). при i< п,pn(Xn)pn и pi(Xn)=0 при i> п. Пространства Xи Х п имеют один и тот же (n+1 )-тип. В частности, если П. с. конечна, т. е. для нек-рого числа Nпри всех n >N группа pn тривиальна, то пространства X и XN гомотопически эквивалентны. В общем случае при i п имеют место изоморфизмы Н i( Х п) Н i (Х) иpn(Xn)pn(X), т. Пусть имеется (гомотопически) коммутативный квадрат пространств и отображений, в котором отображение i является замкнутым корасслоением с кослоем X/А, а р — расслоением со слоем F. Спрашивается, существует ли такое отображение , чтобы оба получающихся треугольника были (гомотопически) коммутативными. Далее, если такое отображение существует, то требуется вычислить множество гомотопич. классов отображений X Y " под А" (то есть rel A) и "над B". Пусть для расслоения р: Y В существует стандартная П. с. (для этого достаточно, напр., потребовать, чтобы пространства Y и Вбыли односвязными). Задачу относительного поднятия решают шаг за шагом. Рассмотрим "элементарную" задачу относительного поднятия отображения fn-1:XYn_l с ( п-1)-го мена П. с, на п-й член П. с. (рис. 3). Отображения fn-1 и gn-1 определяют отображение X/AК(pn,(F), п+1), т. е. класс когомологий , называемый препятствием. Отображение fn-1 тогда и только тогда можно поднять в Yn когда с n+1=0. Два поднятия и определяют элемент , называемый различающей, к-рый тогда и только тогда равен нулю, когда поднятия и гомотопны. Таким образом, задача относительного поднятия будет решена, если последовательно возникающие препятствия с n+1 равны нулю (напр., если Н п+1( Х, А;pn(F))=0. Поднятие будет единственно, если последовательно возникающие различающие dn равны нулю (напр., если Н n( Х, A;pn(F))=0). В случае, когда корасслоение iявляется вложением клеточных разбиении, препятствие с п+1 и различающая dn совпадают с обычными "поклеточными" препятствием и различающей. Для односвязных пространств X, группы гомологии к-рых конечно порождены, П. с. эффективно вычислима [5] и, следовательно, эффективно вычислим гомотопич. тип пространства X. Однако на практике для большинства пространств из-за резко возрастающей сложности вычислений удается вычислить только начальные отрезки П. с. Для вычислений используется метод когомологических операций. Двойственной к П. с. является система Картана — Серра пространства X, состоящая из расслоений, слоями к-рых являются пространства Эйленберга — Маклейна К(pn (X), п -1). Пространство наз. (п+1)-м убивающим пространством для X. Члены системы Картана — Серра являются гомотопич. слоями ( п -1)-аквивалентностей для П. с. пространства X, а члены Х п П. с.- пространствами петель над слоями расслоений Расщепленной П. с. наз. последовательность главных расслоений слоями к-рых являются пространства Эйленберга — Маклейна К(pn, sn}, где . Расщепленные П. с. являются основным технич. средством изучения т. н. нильпотентных пространств и, в частности, их локализаций (см. [2], [6], [7]). Имеются и другие варианты П. с. (см. [6]). Лит.:[1] Постников М. М., Исследования по гомотопической теории непрерывных отображений, ч. 1-2, М., 1955; [2] его же, "Успехи матем. наук", 1977, т. 32, в. 8, с. 117-81; [3] Мошер Р., Тангора М., Когомологические операции и их приложения в теории гомотопий, пер. с англ., М., 1970, гл. 13; [4] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971, гл. 8; [5] Браун Э. X., "Математика", 1958, т. 2, № 2, с. 3-24; [6] Ваuеs H. J., Obstruction theory of the homotopy classification of maps, B.-Hdlb.-N.Y., 1977; [7] Hilton P., Mislin G.,Roitberg J., Localization of nilpotent groups and spaces, Amst., 1976. С. Н. Малыгин.