Порядковая Статистика

Член вариационного ряда, построенного по результатам наблюдений. Пусть наблюдается случайный вектор Х=( Х 1, Х 2, ..., Х п), принимающий значения х=( х 1, х 2, . . ., х п).в n-мерном евклидовом пространстве , и пусть в задана функция , определенная по следующему правилу: где — вектор из , полученный из вектора хв результате перестановки его координат х 1, х 2, ..., х n в возрастающем порядке, т. е. компоненты x(nl), x(n2) ,..., х ( пп) вектора удовлетворяют следующему соотношению (1) В этом случае статистика наз. вариационным рядом (или вектором) порядковых статистик, а ее k-я компонента Xnk(k=1, 2, ..., n) наз. k-й порядковой статистикой. В теории П. с. наиболее полно изучен случай, когда компоненты X1, Х 2, ..., Х п случайного вектора Xсуть независимые одинаково распределенные случайные величины, что в дальнейшем и будет предполагаться. Если F(и) — функция распределения случайной величины Xi, i=l, 2, . . ., п, то функция распределения Fnk(u) k -й П. с. Х (nk) вычисляется по формуле (2) где — неполная бета-функция. Из (2) следует, что если функция распределения F(и).имеет плотность вероятности f(u), то плотность вероятности fnk (и) k- йП. с. Х (nk), k=1,2, . . ., п, тоже существует и выражается формулой (3) В предположении существования плотности f (и).была получена совместная плотность вероятности П. с. Х (nr1), Х (nr2),..., Х (nrk), , к-рая выражается формулой (4) Формулы (2) — (4) позволяют, напр., найти распределение вероятностей т. н. экстремальных П. с. а также распределение статистики Wn= Х (nn)-X(n1), к-рую наз. размахом. Напр., если функция распределения F(и).непрерывна, то функция распределения размаха Wn выражается формулой (5) Формулы (2) — (5) показывают, что, как и в общей теории выборочных методов, точные распределения П. с. невозможно использовать при получении статистич. выводов, если функция распределения F(и).неизвестна. Именно поэтому в теории П. с. получили широкое развитие асимптотич. методы исследования распределений П. с. при неограниченном увеличении размерности ге вектора наблюдений. В асимптотич. теории П. с. изучаются предельные распределения соответствующим образом нормированных последовательностей П. с. , когда ; при этом, вообще говоря, порядковый номер kможет меняться в зависимости от ге. Если с ростом ппорядковый номер kменяется таким образом, что существует , отличный от О и 1, то соответствующие П. с. Х (nk) рассматриваемой последовательности . наз. центральными или средними П. с. Если же равен 0 или 1, то П. с. Х (nk) наз. крайними. В математич. статистике центральные П. с. используют при построении состоятельных последовательностей оценок для квантилей неизвестной функции распределения F(и).по реализации случайного вектора Xили, иначе говоря, при оценивании функции F-1(u). Напр., пусть х р- квантиль уровня Р(0<Р<1) функции распределения F(u), про к-рую известно, что ее плотность вероятности f(u).непрерывна и строго положительна в нек-рой окрестности точки х р. В этом случае последовательность центральных П. с. с порядковыми номерами k=[(n+1) Р+0,5], где [а] — целая часть действительного числа а, является состоятельной последовательностью оценок для квантили х р,. Более того, эта последовательность П. с. асимптотически нормально распределена с параметрами т. е. для любого действительного числа х (6) где Ф (х) — функция распределения стандартного нормального закона. Пример 1. Пусть X(.)=(X(nl), . . ., Х ( пп)).-вектор П. с., построенный по случайному вектору X =(X1, . . ., Х n), компоненты к-рого суть независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же вероятностному закону, плотность вероятности к-рого непрерывна и строго положительна в нек-рой окрестности медианы х 1/2 . В этом случае при последовательность выборочных медиан , определяемых для любого по правилу асимптотически нормально распределена с параметрами В частности, если то есть Xi подчиняется нормальному закону N( а,s2), то в этом случае последовательность асимптотически нормально распределена с параметрами и . Если последовательность статистик сравнить с последовательностью наилучших несмещенных оценок математич. ожидания анормального закона, то следует отдать предпочтение последовательности , т. к. для любого Пример 2. Пусть — вектор П. с., построенный по случайному вектору X=(X1, . . ., Х п), компоненты к-рого независимы и равномерно распределены на отрезке [а-h; a+h], причем параметры аи hнеизвестны. В этом случае последовательности статистик и , где являются состоятельными последовательностями сверхэффективных несмещенных оценок для параметров аи hсоответственно, причем (7) Можно показать, что последовательности статистик и определяют наилучшие оценки для аи h в смысле минимума квадратичного риска в классе линейных несмещенных оценок, выраженных в терминах П. с. Лит.:[1] Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] Уилкс С., Математическая статистика, пер. с англ., М., 1967; [3] Дэйвид Г., Порядковые статистики, пер. с англ., М., 1979; [4] Гумбель Э., Статистика экстремальных значений, пер. с англ., М., 1965; [5] Гаек Я., Шидак 3., Теория ранговых критериев, пер. с англ., М., 1971; [6] Гнеденко Б. В., "Докл. АН СССР. Новая серия", 1941, т. 32, № 1, с. 7-9; [7] его же, "Ann. Math.", 1943, v. 44, № 3, p. 423-53; [8] Смирнов Н. В., "Тр. Матем. ин-та", 1949, т. 25, с. 5-59; [9] его же, "Теория вероятн. и со применен.", 1967, т. 12, № 2, с. 391-92; [10] Чибисов Д. М., там же, 1964, т. 9, № 1, с. 159-65; [11] Craig А. "Т., "Amer. J, Math.", 1932, v. 54, p. 353-66; [12] Тippett L. Н. С., "Biometrika", 1925, v. 17, p. 364-87; [13] Pearson E. S., там же, 1932, v. 24, p. 404-17. М. С. Никулин.