Поперечник

Множества — величина, характеризующая уклонение множества в метрич. пространстве от нек-рой системы объектов (как правило, конечномерных) при определенном методе приближения, а также величина, характеризующая точность восстановления элемента из данного множества при определенном методе кодирования. Наиболее изучены П., характеризующие возможность аппроксимации множества конечномерными компактами и конечномерными линейными многообразиями (поперечники по Александрову и поперечник по Колмогорову). Пусть X — нормированное пространство с единичным шаром В, — аппроксимируемое подмножество в ,- нек-рая совокупность аппроксимирующих подмножеств, F( С, А) — нек-рая совокупность отображений , наконец, — заданная совокупность отображений из аппроксимируемого в аппроксимирующее множества. Число (1) характеризует величину уклонения аппроксимируемого множества Сот совокупности аппроксимируемых множеств при методе аппроксимации . Большинство П., характеризующих аппроксимационные свойства того или иного аппарата приближения, задаются по типу (1). Если -совокупность всех линейных многообразий (т. е. сдвигов линейных подпространств) размерности , a F( С, М N) — совокупность всех отображений из С в М N, то величина (1), называемая N- поперечником по Колмогорову множества Си обозначаемая обычно dN(C, X), характеризует минимальное уклонение данного множества С от N-мерных линейных многообразий, т. Ожидалось, что всегда имеет место такая асимптотика, т. е. подпространство тригонометрич. полиномов данной степени всегда будет асимптотически экстремальным. Однако оказалось, что это не так (см. [10], [13]). Тригонометрич. полиномы lin оказались асимптотически не экстремальными. Однако в ряде случаев "переставленные" гармоники, т. е. Nгармоник, взятых в "неправильном" порядке, все-таки оказались экстремальными. Решение задачи о П. соболевских классов опирается на исследование вопроса о поперечнике n-октаэдров в : При величина определяется точно; при p<q точно вычислена величина , она оказалась равной . Принципиальную роль при вычислении колмогоровских П. соболевских классов играют следующие оценки (см. [13]): A) ; Б) где А — постоянная; B) если , то при имеет место неравенство Рассмотрен вопрос и об асимптотич. поведении александровских П. соболевских классов. Оказалось, что Решить вопрос о точном вычислении П.- это найти экстремальный для данного класса аппарат приближения. Первый результат этого рода принадлежит А. Н. Колмогорову [1], к-рый решил задачу о вычислении поперечника и аналогичную задачу для периодич. класса в метрике L2([-p, p]). Для вычисления точного значения поперечника впервые привлечены (см. [7]) топологич. методы (теорема о поперечнике шара, сводящаяся к теореме Борсука об антиподах). Эта теорема была обобщена (см. [12]) и применена к нахождению других точных решений. Впоследствии обнаружились интересные связи с вариационным исчислением и оптимальным управлением (см. [9]). О поперечниках eN, eN и обратных к ним величинах Ne(C).и Ne(C, X).см. e -энтропия. Вопросы о П. имеют тесное соприкосновение с разнообразными задачами геометрии. Напр., задача об асимптотике величины тесно связана с задачей о наилучшем замощении пространства сферами. Зависимость асимптотических П. от объемлющего пространства привела к идее введения абсолютных П.- величин где нижняя грань берется по всем вложениям С с его метрикой в объемлющее пространство X. При этом оказывается (см. [9]), напр., что Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Ann. Math.", 1936, v. 37, p. 107-10; [2] Урысон П. С., Труды по топологии и другим областям математики, т. 1, М.- Л., 1951, с. 483; [3] Александров П. С., "Fund, math.", 1933, v. 20, p. 140-50; [4] Понтрягин Л., Шнирельман Л. Г., в кн.: Гуревич В., Волмэн Г., Теория размерности, пер. с англ., М., 1948, с. 210-18; [5] Колмогоров А. Н., "Докл. АН СССР", 1956, т. 108, М 3, с. 385-88; [6] Брудный Ю. А., Тима н А. Ф., там же, 195", т. 126, № 5, с. 927-30; [7] Тихомиров В. М., "Успехи матем. наук", I960, т. 15, в. 3, с. 81 — 120; 1965, т: 20, в. 1, с. 227-30;' E8] его же, Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976; [9] его же, в кн.: Теория приближения функций. Тр. Межд. конф. по теории приближения функций. Калуга. 1975, М., 1977, с. 359-65; [10] Исмагилов Р. С., в кн.: Геометрия линейных пространств и теория операторов, Ярославль, 1977, с. 75-113; [11] его же, "Успехи матем. наук", 1974, т. 29, в. 3, с. 161-78; [12] Маковоз Ю. И., "Матем. сб.", 1972, т. 87, № 1, с. 136-42; [13] Кашин Б. С., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1977, т. 41, № 2, с. 334-51; [14] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976. В. М. Тихомиров.