Понтрягина Инвариант

Инвариант оснащенных перестроек поверхности с заданным на ней оснащением. Пусть ( М 2, U) — замкнутая ориентируемая поверхность с n-мерным оснащением Uв Sn+2, т. е. тривиализацией нормального га-мерного расслоения над поверхностью М 2 в Sn+2. Любой элемент ( М 2, ). может быть реализован гладко иммерсированной окружностью с самопересечениями, к-рые являются только двойными и трансверсальными. Пусть выбрана и зафиксирована нек-рая ориентация окружности S1;пусть и 1 (у), u2(y), ... , и п (у) — ортогональные векторы, возникающие из оснащения U, ограниченного на точку — вектор, касательный в точке f(у).к кривой C=f(y), согласно выбранной ориентации S1; un+1(y).- вектор, касательный к М 2 в точке f(y), ортогональный и п+2 (у). и направленный так, что последовательность векторов и 1 (у), ... , и n (у), un+1(y), и п+2 (у).дает стандартную ориентацию сферы Sn+2. Возникающее отображение задает элемент из группы n1(SOn+2), к-рая при изоморфна . Пусть b=0, если hгомотопно нулю, и b=1, если h не гомотопно нулю, и пусть значение функции Ф 0 : H1(M2, ) равно сумме по mod 2 числа двойных точек кривой С, реализующей элемент z, и числа b, определенного по кривой С. Так, определенное значение Ф 0(z) зависит только от гомология, класса z, и функция Ф 0(z) удовлетворяет следующему условию: где — форма пересечений одномерных гомологии поверхности М 2. аrf-инвариант функции Ф 0 и наз. инвариантом Понтрягина пары ( М 2, U). Пара ( М 2, U).оснащение перестраивается до пары (S2, U).тогда и только тогда, когда П. и. пары (M2, U).равен нулю (теорема Понтрягина). П. и. может быть реализован (n+2 )-мерным оснащением на торе, , и является единственным инвариантом двумерных оснащенных кобордизмов. П. и. задает изоморфизм Лит.:[1] Понтрягин Л. С., Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976. М. А. Штанько.