Понтрягина Двойственность

1) П. д.- двойственность между абелевыми топологич. группами и их характеров группами. Теорема двойственности утверждает, что если G — локально компактная абелева группа и X(G) — ее группа характеров, то естественный гомоморфизм , переводящий в характер , заданный формулой есть изоморфизм топологич. групп. Из этой теоремы выводятся следующие утверждения. I. Если Н- замкнутая подгруппа в G и — ее аннулятор в X(G), то H совпадает с аннулятором подгруппы H*; при этом группа X(H) естественно изоморфна X(G)/H*, а X(G/H) — группе H*. II. Если — непрерывный гомоморфизм локально компактных абелевых групп, то после отождествления группы G с X(X(G)) и группы H с X(X(H)).при помощи изоморфизмов гомоморфизм (j*)* отождествляется с j. III. Вес группы X(G).(как топологич. пространства) совпадает с весом группы G. П. д. сопоставляет компактным группам Gдискретные группы X(G).и наоборот. При этом компактная группа Gметризуема тогда и только тогда, когда X(G).счетна, и связна тогда и только тогда, когда группа X(G).без кручения. Конечномерность компактной группы Gравносильна тому, что X(G).имеет конечный ранг (см. Ранг, абелевой группы). Конечномерная компактная группа Gлокально связна тогда и только тогда, когда X(G).конечно порождена. Если Gконечна, то П. д. совпадает с двойственностью конечных абелевых групп, рассматриваемой над полем комплексных чисел. Топологич. группы, для к-рых верна теорема двойственности, наз. рефлексивными. Они не исчерпываются локально компактными группами, т. к. любое банахово пространство, рассматриваемое как топологич. группа, рефлексивно [8]. О характеризации рефлексивных групп см. [9]. Аналог П. д. известен и для некоммутативных групп (теорема двойственности Танака — К р е и и а) (см. [4], [6], [7]). Пусть G — компактная топологич. группа, R — алгебра комплекснозначных представляющих функций на G, S(R) — множество всех ненулевых гомоморфизмов алгебр , удовлетворяющих условию . В S(R).определяется умножение , удовлетворяющее следующему условию: если — неприводимое непрерывное унитарное представление группы G и rij(g) — его матричные элементы, то Это умножение и естественная топология превращают S(R).в топологич. группу. Каждому отвечает гомоморфизм , задаваемый формулой Тогда соответствие gag есть изоморфизм топологич. группы G на S(R). Дано также алгебраич. описание категории алгебр R, к-рая оказывается, таким образом, двойственной категории компактных топологич. групп. Эта теория допускает обобщение на случай однородных пространств компактных топологич. групп (см. [4]). Лит.:[1] Понтрягин Л. С., "Ann. Math.", 1934, v. За, №2, р. 301-88 (рус. пер.- "Успехи матем. наук", 1936, в. 2, с. 177-95); [2] его же, Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [3] Кamреn Е. van, "Ann. Math.", 1935 v. 36, p. 448-63; [4] Крейн М. Г., "Укр. матем. ж.", 1949, т. 1, № 4, с. 64-98; 1950, т. 2, № 1, с. 10-59; [5] Моррис С., Двойственность Понтрягина и строение локально компактных абелевых групп, пер. с англ., М., 1980; [6] Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; [7] Хьюитт Э., Росс К., Абстрактный гармонический анализ, пер. с англ., т. 2, М., 1975; [8] Smith M. P., "Ann. Math.", 1952, v. 56, №2, p. 248-53; [9] Venkataraman H., "Math. Z.", 1976, Bd 149, H. 2, S. 109 — 19. А. Л. Онищик. 2) П. д. в топологии — изоморфизм между р-мерной группой когомологий Александрова — Чеха Н р (А; G) с коэффициентами в группе G компактного множества А, лежащего в n-мерном компактном ориентируемом многообразии М n, и (n — р -1)-мерной группой гомологии дополнения в предположении, что Н р( М n; G)=Hp+1(Mn; G)=0 (гомологии и когомологий в размерности нуль — приведенные; символ созначает компактные носители). Для случая, когда Аили В — конечный полиэдр, этот изоморфизм был установлен Дж. Александером (J.Alexander). Н. Стинрод (N. Steenrod) установил наличие такого изоморфизма для любого открытого подмножества , а К. А. Ситников — для произвольного подмножества А. В приведенном виде закон двойственности Понтрягина был сформулирован П. С. Александровым. В первоначальной форме утверждалась двойственность в смысле теории характеров между группами H р (А; G*).и , где G* — бикомпактная группа характеров дискретной группы G. Эквивалентность обеих формулировок закона двойственности следует из того, что группа H р (А; G*) есть группа характеров группы Н p (А; G). Из предположения об ацикличности многообразия в размерностях ри р+1 и из точной последовательности когомологий пары ( М п, А).вытекает, что Hp(A; G)=Hp+l(Mn, A; G), поэтому П. д.-простое следствие двойственности Пуанкаре — Лефшеца (см. Пуанкаре двойственность). Наиболее общая форма соотношений двойственности рассматриваемого типа состоит в следующем. Пусть М п — произвольное многообразие (возможно, обобщенное, не обязательно компактное и не обязательно ориентируемое), — локально постоянная система коэффициентов со слоем G, А — произвольное подмножество в М п и Ф — семейство всех замкнутых в М п множеств, содержащихся в В=М п А. Тогда если , то . Здесь — гомологии с замкнутыми носителями, содержащимися в Ф (т. е. прямой предел групп — локально постоянная система коэффициентов, образованная группами . В приведенном равенстве коэффициенты для когомологий могут быть заменены на , если рассматривать гомологии с коэффициентами в нек-рой специально определяемой системе. Лит.:[1] Александров П. С., Топологические теоремы двойственности, ч. 1 — Замкнутые множества, М., 1955 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 48); [2] Масси У., Теория гомологии и когомологий, пер. с англ., М., 1981. Е. Г. Скляренко.