Понтрягина Число

Характеристическое число, определенное для действительных замкнутых многообразий и принимающее рациональные значения. Пусть — произвольный (необязательно однородный) стабильный характеристический класс. Для замкнутого ориентированного многообразия Мрациональное число х[М] = <х(tM), [М]> наз. числом Понтрягина многообразия М, соответствующим классу х, здесь t М — касательное расслоение. П. ч. х[М]зависит лишь от однородной компоненты степени dim Мкласса х. Пусть w= — разбиение числа п, т . е. набор целых неотрицательных чисел i1, ..., ik,с i1+... + ik=n и . Рациональные числа р w[М]определены для замкнутого многообразия Мразмерности 4n и всех разбиений w числа n. П. ч. х[М], х[N]двух бордантных (в ориентированном смысле) многообразий М, N равны: х[М]=х[N](теорема Понтрягина). Согласно этой теореме каждый характеристич. класс индуцирует гомоморфизм Q, а каждый элемент индуцирует гомоморфизм . Другими словами, имеется отображение Если все П. ч. и Штифеля числа двух ориентированных замкнутых многообразий совпадают, то эти многообразия бордантны (в ориентированном смысле). Задача, аналогичная проблеме Милнора — Хирцебруха для квазикомплексных многообразий, состоит в том, чтобы описать образ отображения ф. Решение этой задачи основано на рассмотрении П. ч. в K-теории, соответствующих Понтрягина классамpi в K-теории. Пусть w= — набор целых неотрицательных чисел, Sw(p).и Sw(ep) — характеристич. классы, определяемые четными симметрич. рядами соответственно, здесь Sw(t1, ..., tn) — минимальный симметрич. полином, содержащий одночлен , . Пусть — множество таких гомоморфизмов , для к-рых при всех наборах со. Тогда образ гомоморфизма совпадает с В* (теорема Стонга — Хаттори). Характеристич. числа L[М]и [М], соответствующие классам , наз. L-pодом и -родом соответственно многообразия М. Для замкнутого многообразия М, размерность к-рого делится на 4, имеет место равенство L[М] = I (М), где I(М) -сигнатура многообразия, т. е. сигнатура квадратичной формы пересечения, определенной на Hn/2(M), n=dimM(теорема Хирцебруха). Для замкнутого спинорного многообразия Мчетной размерности спинорный индекс М, т. е. индекс оператора Дирака на М, совпадает с [М]. Лит. см. при ст. Понтрягина класс. А. Ф. Харшиладзе.