Полуупорядоченное Пространство

Общее название векторных пространств, в к-рых определено бинарное отношение частичного порядка, согласованное определенным образом с векторной структурой пространства. Введение порядка в функциональных пространствах позволяет исследовать в общих рамках функционального анализа такие задачи, к-рые существенно связаны с неравенствами между функциями, с выделением классов положительных функций. Однако, в отличие от множества действительных чисел, допускающего полное упорядочение, естественный порядок в функциональных пространствах оказывается лишь частичным; напр., в пространстве С[a, b] естественно считать, что функция f мажорирует функцию g, если f(t)] g(t).при всех . Но при таком определении порядка многие функции окажутся несравнимыми между собой. Упорядоченные векторные пространства (у. в. п.). Векторное пространство X над полем действительных чисел наз. упорядоченным, если в нем определено бинарное отношение порядка, причем влечет для любого и для любого числа . Таково, напр., С[ а, b]с естественным порядком. Если отношение есть порядок, то множество X+= — конус, наз. положительным конусом. Обратно, если в векторном пространстве Xзадан конус К с вершиной в нуле, то в Xможет быть введен такой порядок, при к-ром X+=К:следует положить , если . Рассматриваются и более общие у. в. п., и к-рых определена лишь структура квазипорядка. В этом случае множество Х + есть клин, а всякий клин с вершиной в нуле порождает в Xквазипорядок. Пусть у. в. и. Xнаделено порядком. Конус Х + наз. воспроизводящим, если X+ -Х +=Х. Это свойство конуса Х + необходимо и достаточно, для того чтобы любое конечное подмножество из Xбыло ограниченным (сверху и снизу). Те у. в. п., в к-рых всякое ограниченное сверху множество имеет верхнюю грань, иначе — точную верхнюю границу, или супремум (а тогда и всякое ограниченное снизу множество имеет нижнюю грань, иначе — точную нижнюю границу, или инфимум), наз. порядково полными или (о)-полными. Более слабый вид полноты в у. в. п. определяется следующим образом: у. в. п. наз. дедекиндово полным, если всякое его ограниченное сверху и направленное вверх подмножество имеет верхнюю грань (множество направлено вверх, если для любых существует такой , что ). Если это требование выполнено для ограниченных возрастающих последовательностей, то у. в. п. наз. дедекиндово (о)-полным. Дедекиндова полнота слабее (о)-полноты. Напр., если X- произвольное бесконечномерное банахово пространство, , а К — конус натянутый на замкнутый шар S(и; r).и элемент 0, и с помощью Кв Xвведен порядок, то X- дедекиндово полное, но не (о)-полное. У. в. п. наз. архимедовым, если в нем выполнена Архимеда аксиома. В частности, архимедовым является всякое дедекиндово (о)-полное у. в. п. В у. в. п. вводится понятие порядковой сходимости: последовательность (о)-сходится к элементу , если существуют такие возрастающая и убывающая последовательности . и , что и sup yn=x=int zn. (о)-предел обладает многими свойствами предела в множестве действительных чисел, однако нек-рые из них справедливы лишь в архимедовых у. в. п. Линейный оператор А, действующий из у. в. п. Xв у. в. п. Y(в частности, линейный функционал с действительными значениями), наз. положительным, если . Для положительных функционалов справедлива следующая теорема о распространении. Пусть Е — линейное подмножество в X, мажорирующее конус X+ (это означает, что для любого существует такой , что ). Всякий линейный функционал, заданный на Еи положительный относительно конуса , допускает линейное положительное распространение на все X. Векторная решетка (в. р.) — у. в. п., в к-ром отношение порядка определяет структуру решетки. При этом для определения в. р. достаточно постулировать для любых двух элементов из у. в. п. существование одной из граней: верхней или нижней . Напр., если существует , то . Если X — в. р., то конус X+ наз. миниэдральным. В в. р. для любого ее элемента хсуществуют положительная и отрицательная части: и При этом x=x+-x-, и эта формула дает "минимальное" представление хв виде разности положительных элементов, т. е. если х=у-z, где то , . Миниэдральный конус является воспроизводящим. Элемент | х|=х ++х — ваз. модулем элемента х. В пространстве С[ а, b] с естественным упорядочением положительный конус миниэдрален, положительная часть любой функции x(t).из Сполучается из x(t).заменой ее отрицательных значений нулем, а модуль есть функция |x(t)|. В в, р. всякое конечное множество элементов имеет обе грани. Модуль элемента в. р. обладает многими свойствами абсолютной величины действительного числа. В. р. наз. дистрибутивной, если для произвольного множества ее элементов , у к-рого существует sup х a при любом справедлива формула: у . Тогда верна и двойственная формула: Теорема о двойном разбиении положительных элементов: если x=y+z, где , и одновременно х=х 1+...+х n, где все , то каждый х i можно представить в виде xi= у i+zi так, что все и что y=y1+...+y п, z=z1+...+zn. Два элемента х, у в. р. наз. дизъюнктными (xdy), если . Два множества А , В наз. дизъюнктными, если adb для любых . В пространстве С[ а, b]дизъюнктность xdy означает, что . Положительный элемент еназ. слабой единицей (единицей в смысле Фрейденталя), если 0 — единственный элемент, дизъюнктный с е. В С[ а, b]слабой единицей является любая функция, к-рая больше 0 на всюду плотном множестве. Если же элемент етаков, что для любого хсуществует l, при к-ром , то еназ. сильной единицей, а Xс сильной единицей наз. в. р. ограниченных элементов. В С[ а, b]сильная единица — любая функция, для к-рой min z(t)>0. Если в архимедовой в. р. Xс сильной единицей еположить , то Xстановится нормированной решеткой. На плоскости любой конус, кроме одномерного (т. е. луча), миниэдрален. Но в пространствах с большим числом измерений среди замкнутых конусов много не миниэдральных, напр, таковы все "круглые" конусы в R3. Для того чтобы конус (с вершиной в нуле) в n-мерном архимедовом у. в. п. был миниэдральным, необходимо и достаточно, чтобы он был натянут на ( п-1)-мерный симплекс с линейно независимыми вершинами. Всякая архимедова n-мерная в. р. изоморфна пространству Rn с покоординатным упорядочением. К-пространства (К.-п.), пространства Канторовича, суть (о)-полные в. р. Это — основной класс П. п., они всегда архимедовы, (о)-сходимость в К.-п. описывается с помощью верхнего и нижнего пределов, именно, для огранич. последовательности и тогда означает, что . Пусть Xесть К.-н. Для любого множества его дизъюнктным дополнением наз. множество Всякое множество, к-рое является дизъюнктным дополнением (к какому-либо множеству), наз. полосой. Для любого множества Есуществует наименьшая полоса, содержащая Е, именно Edd;она наз. полосой, порожденной множеством Е. Если само Еесть полоса, то Edd=E. Полоса, порожденная одноэлементным множеством, наз. главной. Понятие, полосы вводится и в любой в. р., однако в К.-п. оно играет особую роль, поскольку справедлива теорема о проектировании на полосу: если Е — полоса в X, то для любого существует единственное разложение x=y+z, где . Определенный при этом линейный оператор у=Рr Е х наз. проектором на полосу Е. Если задана произвольная совокупность попарно дизъюнктных полос Е a, полная в той смысле, что 0 — единственный элемент из X, дизъюнктный всем Е a, то любой представим в виде х= sup xa, где . Всякий l-идеал также является К.-п. Однако если и в X, то это соотношение верно и в Y только в том случае, когда последовательность ограничена в Y. Примером К.-п. служит пространство Sвсех действительных почти всюду конечных измеримых функций на [0, 1], в к-ром эквивалентные функции отождествляются. Функция считается положительной, если x(t)0почти всюду. Если — счетное ограниченное сверху подмножество из S(ограниченность сверху означает, что существует такая , что почти всюду для любого п), то функция x(t) = sup xn(t).и будет верхней гранью множества А, т. е. sup Авычисляется поточечно. Однако для несчетных множеств вычисление граней таким же способом уже невозможно, и существование у несчетных множеств ограниченных множеств в Sустанавливается сложнее, (о)-сходимость в Sозначает сходимость почти всюду. Все пространства Lp=[0,1], р>0, являются l-идеалами в S, ипотому они тоже являются К.-п. Важную роль играет теорема Рисса — Канторовича о том, что множество всех порядково ограниченных операторов (т.