Полунорма

Конечная неотрицательная функция рна векторном пространстве Е(над нолем действительных или комплексных чисел), подчиненная условиям: для всех и скаляров l. Примером П. служит норма;. отличие заключается в том, что для П. допустимо р(х)=0 при . Если на векторном пространстве задана полунорма р, а на его подпространстве — линейный функционал f, подчиненный условию , то его можно продолжить на все пространство с сохранением этого условия (теорема Хана — Банаха). В математич. анализе наиболее употребительны отделимые топологические векторные пространства, базис окрестностей нуля в к-рых можно составить из выпуклых множеств. Такие пространства наз. локально выпуклыми. В этих пространствах базис может быть описан неравенствами р(x)<1, где р — непрерывные П. В то же время в практике математич. анализа встречаются и такие топологич. векторные пространства (в том числе и с метризуемой топологией), на к-рых нет нетривиальных непрерывных П. Простейший пример такого рода — пространство Lq(0, 1), где 0<q<1. Лит.:[1] Бурбаки Н., Топологические векторные пространства, пер. с франц., М., 1959; [2] Рудин У., Функциональный анализ, пер. сангл., М., 1975. Е. А. Горин.