Полугруппа Операторов

Семейство операторов вбанаховом или топологическом векторном пространстве, обладающее тем свойством, что композиция любых двух операторов семейства снова принадлежит семейству. Если операторы Т"занумерованы" элементами нек-рой абстрактной полугруппы и бинарной операции полугруппы отвечает композиция операторов, то полугруппа наз. представлением полугруппы . Наиболее подробно изучены однопараметрические полугруппы линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве X, дающие представление аддитивной полугруппы всех положительных чисел, т. е. семейства Т(t).со свойством Из сильной измеримости T(t), t>0, следует, что Т(t) — сильно непрерывная полугруппа, поэтому в дальнейшем только такие и рассматриваются. Существует число — тип полугруппы. Все функции Т(t)x растут не быстрее экспоненты. Важной характеристикой является инфинитезимальный оператор полугруппы определенный на линейном множестве D(А 0) тех элементов х, на к-рых предел существует, и его замыкание А(если оно существует) — производящий оператор полугруппы. Множество D( А 0).плотно на подпространстве Х 0, являющемся замыканием объединения всех значений Т(t)x. Если в Х 0 нет ненулевых элементов, на к-рых , то существует производящий оператор А. В дальнейшем всегда предполагается, что Х 0=Х и что из следует х=0. Наиболее простой класс полугрупп — класс С 0 — выделяется условием: при и любом Для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы функция ||T(t)|| была ограниченной на каком-нибудь промежутке (0, а]. В этом случае Т(t).имеет производящий оператор А=А 0, для резольвенты R(l, А)=(A-lI)-1 к-рого выполнено (1) где w — тип полугруппы. Обратно, если А — замкнутый оператор с плотной в X областью определения, для резольвенты к-рого выполнено (1), то он является производящим оператором нек-рой полугруппы Т(t).класса С 0, причем . Условия (1) выполняются, если (условие Хилле — Иосиды). Если при этом w=0, то Т(t) — сжатий полугруппа:. Суммируемая полугруппа — та, для к-рой функции ||T(t).|| суммируемы на любом конечном отрезке при всех . Суммируемая полугруппа имеет производящий оператор . Оператор A0 замкнут тогда и только тогда, когда при любом Для суммируемой полугруппы при Rel>w определено преобразование Лапласа (2) дающее линейный ограниченный оператор R(l), обладающий многими свойствами резольвенты. Для того чтобы замкнутый оператор Ас плотной в Xобластью определения был производящим оператором суммируемой полугруппы T(t), необходимо и достаточно, чтобы для нек-рого w существовала резольвента R(l, А).при Re l>w и выполнялись условия: а) ||R(l, А)|| М,Re l>w; б) существуют такие неотрицательная и непрерывная по совокупности переменных функция , и неотрицательная функция j(t), ограниченная на любом промежутке , что при w1>w При этом Если, дополнительно потребовать, чтобы функция ||T(t)|| была суммируемой на конечных промежутках, то необходимо и достаточно существование такой непрерывной функции j(t) что при w1>w (3) (4) При этом . Выбирая различные функции, удовлетворяющие (3), можно выделять различные подклассы суммируемых полугрупп. Если , то получается класс С 0 и из (4) вытекает (1). Если j(t) , , то из (4) получается условие Полугруппа со степенными особенностями. Если в предыдущем примере , то в (4) интегралы при n расходятся. В соответствии с этим производящий оператор соответствующих полугрупп может не иметь резольвенты ни при каких l, т. е. иметь спектр, совпадающий со всей комплексной плоскостью. Однако для таких операторов, начиная с нек-рого п, существуют функции Sn(l, А), совпадающие в предыдущих случаях с Rn+1(l, А). Оператор-функция Sn(l, А).наз. резольвентой порядка п, если она аналитична в нек-рой области и при и из того, что Sn(l, A)x=0 при всех , следует, что x=0. Если , то оператор может иметь единственную резольвенту порядка n, для к-рой имеется максимальная область аналитичности, наз. резольвентным множеством порядка п. Пусть для сильно непрерывной полугруппы Т(t).выполняется неравенство при . Тогда ее производящий оператор Вимеет резольвенту порядка ппри n>a-1, причем (5) Обратно, пусть оператор Вимеет при Re l>0 резольвенту Sn(l, В).порядка n, для к-рой выполнено (5) при n>a-1. Тогда существует единственная полугруппа T(t).с оценкой для производящего оператора Ак-рой Sn(l, A)=Sn(l, В). Гладкая полугруппа. Если , то функция T(t)xнепрерывно дифференцируема и Существуют полугруппы класса С 0, для к-рых при функции Т(t)xнедифференцируемы при всех t. Однако для важных классов полугрупп наблюдается явление повышения их гладкости с увеличением t. Если Т(t)x, t>t0, дифференцируемы при любом , то из полугруппового свойства следует, что Т(t)xдважды дифференцируема при t>2t0, трижды — при t>3t0 и т. Линейный оператор Аявляется производящим оператором полугруппы класса иС 0 тогда и только тогда, когда он замкнут, имеет плотную в Xобласть определения и существует такая последовательность положительных чисел , что для любого lk, определена резольвента и семейство операторов равностепенно непрерывно. При этом полугруппа может быть построена по формуле В ненор.