Полугеодезические Координаты

Геодезические нормальные координаты,- координаты х 1, . . ., х n в n-мерном римановом пространстве, характеризующиеся тем, что координатные линии, соответствующие x1, являются геодезич. линиями, на к-рых х 1 играет роль нормального параметра, а координатные поверхности x1=const — ортогональны этим геодезическим. В П. к. квадрат линейного элемента имеет вид П. к. можно ввести в достаточно малой окрестности любой точки произвольного риманова пространства. В двумерных римановых пространствах в ряде случаев (напр., для регулярных поверхностей строго отрицательной кривизны) возможно введение П. к. в целом. В двумерном случае квадрат линейного элемента в П. к. принято записывать в виде Полная (гауссова) кривизна может быть найдена по формуле: При изучении двумерных римановых многообразий знакоопределенной кривизны важную роль играют специальные П. к.- геодезические полярные координаты (r,j). В этом случае все координатные геодезич. линии j=const пересекаются в одной точке (полюсе), а j является углом между координатными линиями v=0 и j=const. Линия r=const наз. геодезической окружностью. Квадрат линейного элемента в окрестности полюса в геодезических полярных координатах имеет вид где К 0 — полная (гауссова) кривизна в точке Р, К 1 — производная от Кпо r в точке Рв направлении геодезической j=0, К 2 — такая же производная в направлении геодезической j=p/2. При определении П. к. в псевдоримановом пространстве часто требуется, чтобы геодезические, соответствующие х 1, не были изотропными. В этом случае квадрат линейного злемента имеет вид (знак + или — выбирается в зависимости от знака квадрата интервала касательного вектора к линии х 1). Д. Д. Соколов.