Полудедекиндова Решетка

Полудедекиндова структура, полумодулярная решетка (структура),- решетка, в к-рой отношение модулярности симметрично, т. е. аМb влечет bМа для любых элементов решетки аи b. Отношение модулярности при этом определяется следующим образом: говорят, что элементы а и b образуют модулярную пару или что аМb, если а(b+c)=ab+c для любого . Решетка, в к-рой всякая пара элементов модулярна, наз. модулярной решеткой или дедекиндовой решеткой. Решетка конечной длины полудедекиндова тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию покрытия: если хи упокрывают ху, то х+у покрывает хи у(см. Покрывающий элемент). В любой П. р. конечной длины выполняется условие Жордана — Дедекинда для цепей (все максимальные цепи между двумя фиксированными элементами имеют одну и ту же длину), что позволяет развивать в них теорию размерности. П. р. конечной длины является решеткой с относительными дополнениями тогда и только тогда, когда каждый ее элемент есть объединение атомов. Такие решетки наз. геометрическими. Важный класс П. р. образуют близкие к геометрическим матроидные решетки (см. [3]). Каждая конечная решетка изоморфна подрешетке конечной П. р. Класс П. р. не замкнут относительно гомоморфных образов. Наряду с П. р., называемыми также полудедекиндовыми сверху, рассматриваются полудедекиндовы снизу решетки, определяемые двойственным образом. Примерами П. р., кроме дедекиндовых решеток, являются решетки всех разбиений конечных множеств и решетки линейных многообразий аффинных пространств. Лит.:[1] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., [2 изд.], М., 1952; [2] Вirkhоff G., Lattice theory, [3 ed.], Providence, 1967; [3] Maeda P., Маеda S h., Theory of symmetric lattices, В. — Hdlb. — N. Y., 1970. Т. С. Фофанова.