Полное Риманово Пространство

Риманово пространство с функцией расстояния r, полное как метрич. пространство с метрикой r. Пусть М — связное риманово пространство со связностью Леви-Чивита, тогда следующие три утверждения эквивалентны: а) М — полно; б) для каждой точки экспоненциальное отображение ехр p определено на всем М р (где М р — касательное пространство и Мв р);в) каждое ограниченное по отношению к расстоянию r замкнутое множество компактно (теорема Хопфа — Ринова). Следствия: любые две точки р,П. р. п. можно соединить на Мгеодезич. длины r( р, q);любая геодезическая неограниченно продолжаема. Имеется [2] обобщение этой теоремы на случай пространства с несимметричной функцией расстояния. Лит.:[1] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [2] Кон-Фоссен С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959. М. И. Войцеховский.