Полилинейное Отображение

N-линейное отображение, полилинейный оператор,- отображение f прямого произведения унитарных модулей Ei над ассоциативно-коммутативным кольцом Ас единицей в нек-рый A-модуль F, линейное по каждому аргументу, т. е. удовлетворяющее условию В случае п=2( п = 3).говорят о билинейном отображении (соответственно трилинейном). Каждое П. о. определяет единственное линейное отображение тензорного произведения в Fтакое, что причем соответствие есть биекция множества П. о. на множество всех линейных отображений П. о. естественным образом образуют A-модуль. В А-модуле Ln(E, F).всех n-линейных отображений действует симметрич. группа Sn: где . П. о. f наз. симметрическим, если sf=f для всех , и кососимметрическим, если sf=e(s)f, где e(s)=+1 в зависимости от четности подстановки в. П. о. наз. знакопеременным (или альтернированным), если f(x1, . . ., х п)=0, как только xi=xj для нек-рых . Всякое знакопеременное П. о. кососимметрично, а если в Fравнение 2у=0 имеет единственное решение у=0, то верно и обратное. Симметрические П. о. образуют подмодуль в Ln(E, F), естественно изоморфный модулю линейных отображений L(SnE, F), где SnE есть n-я симметрич. степень Е(см. Симметрическая алгебра), знакопеременные П. о.- подмодуль, естественно изоморфный L(LnE, F), где Ln Е есть га-я внешняя степень модуля Е(см. Внешняя алгебра). П. о. вида наз. симметризованными, а П. о. вида snf= — кососимметризованными. Симметризованные (кососимметризованные) П. о. симметричны (соответственно знакопеременны), а если в Fуравнение n!y=c имеет для каждого единственное решение, то верно и обратное. Для того чтобы всякое знакопеременное П. о. было кососимметризованным, достаточно также, чтобы модуль Ебыл свободным. Лит. см. при ст. Полилинейная форма. А. Л. Онищик.