Поляризованное Алгебраическое Многообразие

Пара (V,x)> где V — полное гладкое многообразие над алгебраически замкнутым полем k,| из Pic V/PicoV — класс нек-рого обильного обратимого пучка, PicoV-связная компонента абелевой схемы Пикара Pic V. В случае, когда V — абелево многообразие, определено также понятие степени поляризации П. а. м.; она совпадает со степенью изогении , определяемой пучком , а именно : где Т х — морфизм сдвига на . Поляризация степени 1 наз. главной поляризацией. Понятие П. а. м. тесно связано с понятием поляризованного семейства алгебраич. многообразий. Пусть — семейство многообразий с базой S, то есть f — гладкий проективный морфизм схемы Xна нётерову схему S, слоями к-рого являются алгебраич. многообразия. Поляризованным семейством наз. пара (X/S,x/S), где X/S — семейство с базой S,a x/S — класс относительно обильного обратимого пучка в Ноm (5, Pic X/S).по модулю Нот(S, PicoX/S), где Pic X/S- относительная схема Пикара. Введение понятий поляризованного семейства и П. а. м. необходимо для построения пространств модулей алгебраич. многообразий (см. Модулей теория). Так, напр., не существует пространства модулей всех гладких алгебраич. кривых рода , а для поляризованных кривых такое пространство модулей существует [4]. Одним из первых вопросов, связанных с понятием поляризации многообразий, является вопрос об одновременном погружении в проективное пространство поляризованных многообразий с фиксированными численными инвариантами. Если (V,x) содержится в качестве слоя в поляризованном семействе (X/S,x/S) со связной базой S и относительно обильным пучком , то существует ли такая константа с, зависящая только от многочлена Гильберта , что при п>с пучки с многочленом Гильберта h(n).и с при i>0 очень обильны для всех П. а. м. (Xs,xs), где ? Для гладких П. а. м. над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 ответ на этот вопрос положителен [3], а в случае поверхностей основного типа с канонич. поляризацией константа сне зависит даже от многочлена Гильберта (см. [1], [2]). Лит.: [1] Bombieri E., "Рubl. math. IHES", 1972, М 42, р. 447-95; [2] Коdairа К., "J. Math. Soc. Jap.", 1968, v. 20, № 1-2, p. 170-92; [3] Matsusakа Т., Мumford D., "Amer. J. Math.", 1964, y. 86, № 3, p. 668-84; [4] Mumford D., Geometric invariant theory, В., 1965. В. С. Куликов.