Покрытия Теоремы

Теоремы для различных классов регулярных функций, устанавливающие нек-рые свойства таких множеств, к-рые целиком содержатся в множестве значений каждой функции соответствующего класса. Ниже приведены нек-рые из основных П. т. (см. также [1]). Теорема 1. Если функция w=f(z)=z+a2z2+ ... регулярна и однолистна в круге |z|<l (то есть ), то круг |w|<1/4 целиком покрывается образом круга |z|<1 при отображении этой функцией. На окружности |w|=1/4 только в том случае имеются точки, но принадлежащие образу, если Теорема 2. Если мероморфная функция w= однолистно отображает |z|>1, то вся граница образа лежит в круге Теорема 3. Если , то по крайней мере одна из nближайших к w=0точек границы образа круга |z|<l при отображении w=f(z), лежащих на плюбых лучах, исходящих из w=0 под равными углами, отстоит от w=0 не ближе чем на Теорема 4. Если , то в образе круга |z|<1 при отображении w=f(z) содержится множество, состоящее из n открытых прямолинейных отрезков с суммой длин, не меньшей п, исходящих из начала под равными углами величины 2p. Для и удовлетворяющих в круге |z|<1 неравенству , имеют место П. т., аналогичные теоремам 1, 3 (с соответствующими постоянными). П. т. 1 и 3 переносятся и на класс функции w=f(z), регулярных и однолистных в кольце 1<|z|<r и отображающих его на области, лежащие в |w|>1, а окружность |z| = l -на окружность |w| = 1. Для класса Rфункций w=f(z)=z+a2z2+..., регулярных в круге |z|<1, не существует круга |w|<r, r>0, целиком покрываемого значениями каждой из функций этого класса. Для функций регулярных в |z|<l, каждый образ этого круга целиком покрывает нек-рый отрезок любого заданного наклона, содержащий точку w=0 внутри, длиной не меньше А=8p2/Г 4(1/4)=0,45 ..., причем число Анельзя увеличить без дополнительных ограничений. В этом же классе функций при условии, что в кольце 0<|z|<l, каждый образ круга |z|<l целиком покрывает круг |w|<1/16, но не всегда покрывает больший круг с центром в w=0. В классе Sp регулярных в |z|<1 функций f(z)=zp(1+a1z+a2z2+...).таких, что каждое свое значение wони принимают не более чем в р точках круга |z|<l, имеет место аналог П. т. 1 с соответствующим кругом |w|<1/2p + 1. Если при этом a1=...=а р-1=0 или a1=... =a р=0, то соответствующими кругами будут |w|<1/4 или |w|<1/2. Аналогичные результаты имеют место для функций, р-листных в среднем по окружности, р-листных в среднем по площади и др. На класс Sp перенесена и П. т. 3. См. также теорему Блоха в ст. Блоха константа. Лит.:[1] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966. Г. К. Антонюк.