Показательная Функция

Экспоненциальная функция, экспонента,- функция (где е- основание натуральных логарифмов- ненерово число), для любого значения z (действительного или комплексного) определяемая соотношением (1) Она обладает следующими свойствами: при любых значениях z1 и z2. При действительных хграфик П. ф. у=е х- експоненциальная кривая — проходит через точку (0, 1) и асимптотически приближается к оси Ох (см. рис.). В курсе математич. анализа рассматривается П. ф. у = а х при действительных хи a>0, ; она связана с (основной) П. ф. у=е х соотношением П. ф. у-а х определена при всех х, положительна, монотонна (возрастает, если а>1, и убывает, если 0<а<1), непрерывна, бесконечно дифференцируема; при этом в частности в окрестности каждой точки П. ф. может быть разложена в степенной ряд, напр.: (2) График П. ф. у=а х симметричен графику П. ф. y=(1/a)x относительно оси ординат. Если a>1, то П. ф. а х при возрастает быстрее любой степени х, а при стремится к нулю быстрее любой степени 1/х, т. е. при любом натуральном b>0 Обратной к П. ф. является логарифмическая функция. При комплексных a и z П. ф. связана с (основной) П. ф. w=ez формулой где Ln a — логарифм комплексного числа а. П. ф. w=е z- целая трансцендентная функция и является аналитич. родолжением П. ф. у=е х с действительной оси в комплексную плоскость. Помимо формулы (1), П. ф. может быть определена также с помощью ряда (2), сходящегося во всей комплексной плоскости, или по формуле Эйлера если z= x+iy, ТО П. ф. ez- периодическая с периодом 2pi: П. ф. е z принимает все комплексные значения, за исключением нуля: уравнение ez=a имеет бесконечное число решений для любого комплексного числа Эти решения находятся по формуле П. ф. ez является одной из основных элементарных функций. Через нее выражаются, напр., тригонометрич. функции и гиперболич. функции. Ю. В. Сидоров.