Погруженных Многообразий Геометрия

Теория, изучающая внешнюю геометрию и связь между внешней и внутренней . геометрией подмногообразий евклидова или риманова пространства. П. м. г. является обобщением классич. дифференциальной геометрии поверхностей в евклидовом пространстве . Локально внутренняя и внешняя геометрии погружения многообразия обычно описываются соответственно с помощью первой и второй квадратичных форм. Для погружений m-мерного многообразия М т в многообразие Nn существует понятие эквивалентности (см. Погружение многообразия). В П. м. г. изучаются свойства, одинаковые у эквивалентных погружений, т. е. свойства поверхности Fm, определяемой погружением f. В связи с этим в геометрических вопросах погружение и поверхность не различаются. Погружение f индуцирует отображение касательных расслоений. Первая квадратичная (фундаментальная) формам поверхности Fопределяется на ТМ т равенством где — риманова метрика в Nn. Здесь и далее векторы не различаются в обозначениях с их образом df(X). Квадратичная форма gопределяет на М т структуру риманова пространства. ; свойства составляют предмет внутренней геометрии поверхности F. Если , , k=1,...,т,a=1,..., п,- локальные координаты в М т и Nn, то погружение f задается параметрич. уравнениями . В локальных координатах где — координаты векторов X, Y, а — компоненты метрич. тензора риманова пространства Nn. К внутренней геометрии поверхности Fпринадлежат такие понятия, как длина кривой, объем области, связность Леви-Чивита внутренней метрики, ее преобразования кривизны R(X, Y)Zи т. д. Относящиеся сюда вычислит, формулы см. в ст. Риманова геометрия. Вторая (фундаментальная) форма Нопределяется равенством где — связности Леви-Чивита на Nn, М т соответственно. Фактически Нзависит не от векторных полей X, Y, а лишь от их значений в точке ри является билинейным симметричным отображением где vMm — нормальное расслоение М т в Nn. Для каждого единичного вектора равенства <Н( Х, Y),x>p = Ax(X, Y)p = <Ax(X), Y> р определяют вторую квадратичную форму hx и второй фундаментальный тензор Ax. В локальных координатах компоненты hij(x) формы hx имеют вид где — координаты вектора x. Для формы hx обычным образом (т. е. так же, как для поверхности в евклидовом пространстве R3) определяют главные кривизны, главные направления (зависящие от x) и другие связанные с ними понятия. Исходя из элементарных симметрия, функций, можно строить различные функции главных кривизн. Таковы, напр., средняя кривизна где — ортонормированный набор нормалей, а Ki(x) — главные кривизны формы hi;кривизна Чжэня — Лашофа где wl; — объем сферы Sl;длина второй основной формы (см. [1] — [3]). Значение первой и второй квадратичных форм поверхности в точке ропределяет ее вблизи рс точностью до бесконечно малых 2-го порядка. Каждому , соответствует соприкасающийся параболоид. (Для поверхности в евклидовом пространстве — это соприкасающийся параболоид для проекции поверхности на (m+1)-плоскость, определяемую ( ТМ т) р и x.) При т=п-1 (т. е. в случае гиперповерхности) форма hx единственна с точностью до знака. В этом случае вторые фундаментальную и квадратичную формы не различают, и теория приобретает большое сходство с классич. теорией поверхностей в . Основные уравнения. Коэффициенты первой и второй квадратичных форм не являются независимыми. Они связаны уравнениями Гаусса и Петер-сона — Кодацци — Майнардя. Уравнения Гаусса выражают преобразование кривизны поверхности Fчерез преобразование кривизны Nn и коэффициенты квадратичных форм (здесь — скобка Пуассона). Инвариантная форма уравнений Петерсона — Кодацци — Майнарди связана с понятием риманова расслоения над . Расслоение Е(l) l -мерных плоскостей над римановым многообразием наз. римановым, если в Е(l).задана риманова метрика и риманова (т. е. согласованная с метрикой) связность Билинейное g-симметричное отображение наз. вторым фундаментальным тензором в Е;равенство определяет вторую фундаментальную форму в Е, ассоциированную с Ax. Уравнения (2) (3) где — форма кривизны связности D, наз. уравнениями Петерсона — Кодацци -Майнарди. Уравнения (3) часто наз. уравнениями Риччи (координатную запись уравнений (2) — (3) см. в [1]). Уравнения (2) — (3) всегда выполнены, если Е(l) — нормальное расслоение М т в Nn и DXx равно проекции на (vМ т) р. Имеется следующее обобщение Бонне теоремы (см. [2]). Пусть Е(l) — риманово расслоение над односвязным и пусть на Е(l).задан второй фундаментальный тензор А x. Если при этом выполняются соотношения (1) — (3), то существует изометрич. погружение в евклидово пространство с нормальным расслоением Е(l). Такое погружение единственно в следующем смысле: если f, f' — изометрич. погружении в с нормальными расслоениями Е, Е', оснащенными, как и выше, и нек-рая изометрия накрывается отображением , согласованным с оснащенным, то существует такая изометрия Ф пространства , что Классы погружений. Многомерная П. м. г. возникла и долгое время развивалась как теория существования изометрич. погружений римановых многообразий как правило в , реже — в пространство постоянной кривизны К(см. Изометрическое погружение). Что касается внешне геометрич. сврйств и связей между внешней и внутренней геометрией поверхностей, то она подробно изучена только для двумерных поверхностей в . В этом случае существует классификация точек поверхности, с помощью к-рой двумерные поверхности разбиваются на классы: выпуклые поверхности, седловые поверхности и развертывающиеся поверхности. Именно эти классы являются основным объектом изучения в дифференциальной геометрии в целом. В многомерном случае такая классификация точек поверхности неизвестна (1983). Известны только нек-рые классы многомерных поверхностей: k-выпуклые, k-седловые и k-развертывающиеся. k- выпуклые поверхности. Поверхность Fm в наз. k-выпуклой, если для каждой точки существует нормаль , для к-рой hp(x).положительно определена, и для любого k-мерного направления найдется в sk двумерное направление s2 такое, что hp(x)(X, Y)>0 (либо hp(x)(X, Y)0) для каждого , при . 2-выпуклая поверхность Fm в есть выпуклая гиперповерхность в (см. [4]). Внутренняя метрика k-выпуклой поверхности обладает следующим свойством: в каждой точке рдля каждого k-мерного направления sk касательного пространства найдется двумерное направление , в к-ром риманова кривизна строго положительна. k-седловые поверхности. Поверхность F т в наз. k-cедловой, если каждой ее точке рдля каждой нормали число собственных значений hp(x) одного знака не превосходит . Двумерная k-седловая поверхность есть обычная седловая поверхность в , от к-рой нельзя отсечь "горбушку" гиперплоскостью. Внутренняя метрика k-седловой поверхности обладает следующим свойством: в каждой точке рдля каждого k-мерного направления sk касательного пространства найдется двумерное направление , в к-ром риманова кривизна не положительна. Если k-седловая поверхность полна в , то ее гомологии Н i(F т) = 0 при (см.[4|, [5]). Полная m-мерная k-седловая поверхность Fm с неотрицательной кривизной Риччи есть цилиндр с ( т- -k+1)-мерной образующей. k-pазвертывающиеся (k-параболические) поверхности. Поверхность Fm в наз. k- раавертывающейся, если в каждой ее точке рсуществует k-мерное направление sk(TFm)p, к-рое состоит из собственных векторов, принадлежащих нулевому собственному значению матрицы второй квадратичной формы относительно каждой нормали в данной точке. Внутренняя метрика k-развертывающейся поверхности обладает следующим свойством: в каждой точке рнайдется подпространство sk касательного пространства (TFm)p размерности kтакое, что R ХY=0 для любого вектора , где — любой вектор касательного пространства, RXY- оператор кривизны. Если k-развертывающаяся поверхность Fm полна в Rn и несет на себе внутреннюю метрику неположительной кривизны Риччи, то она является цилиндром с k-мерной образующей [6]. Свободные погружения. Если образ Н р( Х, Y).в каждой точке имеет максимально возможную размерность т( т+1)/2, то погружение наз. свободным. В этом случае первые и вторые производные радиус-вектора погружения Fm образуют линейно независимую систему. В классе свободных погружений существует изометрич. погружение в размерность n>m(m+1)/2+3m+5, но при этом полностью теряется связь между внутренней и внешней геометрией. Напр., два свободных изометрич. погружения m-мерного многообразия М т в , n>m(m+1)/2+Зm+5, можно соединить гомотопией, состоящей из свободных изометрич. погружений М m (см. [7]). Погружения с малой коразмерностью. Если коразмерность qпогружения мала, то из условий на внутреннюю метрику многообразия вытекают условия на вторую квадратичную форму поверхности. А из свойств второй квадратичной формы далее выводятся топологические и внешне геометрич. свойства поверхности. В частности, получаются теоремы непогружаемости. Так, если М т с секционной кривизной изометрически погружено в с q<m, то М т есть (q+1)-седловая поверхность и ее гомологии (в случае полноты) Hk=0 при (см. [5]). В частности, компактное М т с не может быть погружено в (см. [8], [9]). Если же К s<0, то М т даже локально непогружаемо в (см. [9]). Аналогично, М т с Ks<1 непогружаемо в сферу S2m-2 радиуса 1. Компактное Fm в S2m-1 имеет нулевую эйлерову характеристику и компактное параллелизуемое накрывающее .многообразие, если К s<1 (см. [10]). О поверхности Fm в при и К s<0 известно, что ее нормальные Понтрягина классы удовлетворяют условию Если К s>0, то из следует, что Fm есть (q+1)-выпуклая поверхность [9]. В частности, при q=1- это 2-выпуклая поверхность. Если Ks>0 и q=2, то компактная поверхность Fm,, имеет гомологии сферы [11]. Если Fm в имеет неположительную секционную кривизну, то она — (т-q(q+1))-развертывающаяся и, в случае полноты, F т есть цилиндр с ( т-q(q+1))-мерной образующей [10]. Если же М т= и , то погружение многообразия М т в есть (т-2k-q )-развертывающаяся поверхность [8] и, в случае полноты, Fm есть цилиндр с ( т-2k-q )-мерной образующей. При более общих предположениях компактная поверхность есть произведение гиперповерхностей [12]. Лит.:[1] Эйзенхарт Л., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; [2] Сhen В., Geometry of submanifolds, N.Y., 1973; [3] С hern S. -s., Lashof H. K., "Amer. J. Math.", 1957, v. 79, p. 306-18; [4] Шефель С. 3., "СиО. матем. ж.", 1969, т. 10, № 2, с. 459-66; [5] Глазырин В. В., "Докл. АН СССР", 1977, т. 233, № 6, с. 1028-30; [6] Наrtman P., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1965, v. 115, p. 94-109 1970, v. 147, p. 529-40; [7] Громов М. Л., "Докл. АН СССР", 1970, т. 192, № 6, с. 1206-09; [8] Сhеrn S., Кuiреr N.. "Ann. of Math.", 1952, v. 56, № 3, p. 422-30; [9] Боровский Ю. Е., Шефель С. 3., "Сиб. матем. ж.", 1978, т. 19, №6, с. 1386-87; [10] Борисенко А. А., "Матем. сб.", 1977, т. 104, №4, с. 559-76; [11] Moore J., "Proc. Amer. Math. Soc.", 1978, v. 70, № 1; [12] Gardner R. В., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1977, v. 83, № 1, p. 1-35. В. А. Топоногов, С. З. Шефелъ.