Подвижного Репера Метод

Дифференциально-геометрический метод локального исследования подмногообразий различных однородных пространств, исходным моментом к-poro является отнесение самого подмногообразия и всех его геометрич. объектов к возможно более общему (подвижному) реперу. П. р. м. включает в себя последующий процесс канонизации репера — инвариантного присоединения к каждой точке подмногообразия единственного репера с целью получения дифференциальных инвариантов, характеризующих подмногообразие с точностью до преобразований вмещающего его однородного пространства. В наиболее общей форме П. р. м. был предложен Г). Картаном (Е. Cartan, см. |1]), давшим разнообразные образцы его применений. Позднее метод получил широкое распространение и развитие (см. Продолжений и охватов метод). Аналитич. основу П. р. м. составляют инвариантные линейные дифференциальные формы группы Ли и их структурные уравнения, а также теория представлений групп Ли как групп преобразований. В современной геометрии основные положения П. р. м. потребовали уточнений и получили оформление в терминах теории расслоенных пространств. Пусть Х п есть n-мерное однородное пространство и Gесть r-мерная группа Ли его преобразований (Gдействует слева). Пусть Xn=G/H — представление, где — группа изотропии (стационарности) нек-рой точки , k=1, 2, . . ., п,a=n+1, . . ., r,- базис левоинвариантных векторных полей на Gтакой, что на Н еa составляют также базис левоинвариантных векторных полей подгруппы Ли H. Базису ( е k, еa).отвечает сопряженный базис левоинвариантных линейных дифференциальных форм (qk, qa) на группе Ли G. Канонич. проекция , сопоставляющая точкам левые классы смежности группы G по подгруппе Н=Н x0 , вносит в группу Ли Gструктуру главного H-расслоения с базой Х п и структурной группой Нразмерности r-п. При таком представлении Gвекторные поля е a составляют базис фундаментальных векторных полей расслоения , а векторные ноля ek натягивают некрое трансверсальное к слоям расслоения n-распределение. В соответствии с этим линейные дифференциальные формы qk являются полубазовыми формами расслоения и образуют вполне интегрируемую подсистему форм в системе (qk, qa). Слои являются интегральными многообразиями максимальной размерности для системы уравнений Пфаффа qk=0. Системой реперов в классической дифференциальной геометрии (евклидовой, аффинной, проективной и т. д.) наз. множество фигур пространства Х п, находящееся в биективном соответствии с множеством преобразований пространства Х n (или, что то же самое, с множеством элементов фундаментальной группы Gданного пространства), при этом любой репер Rиз данной системы можно получить из нек-рого начального R0 с помощью только одного преобразования: Учитывая, что главная роль подвижного репера Lg(R0)=Rg. по отношению к неподвижному R0 состоит в том, чтобы определять произвольное преобразование Lg однородного пространства Х п, можно отождествить множество реперов с множеством элементов группового пространства G, приобретающих таким образом смысл абстрактных реперов, обслуживающих любое однородное пространство с данной фундаментальной группой G. Пусть задано нек-рое гладкое подмногообразие размерности т. Реперами нулевого порядка подмногообразия Мназ. элементы ограничения расслоения на М, как на новую базу. Это значит, что главное расслоение вложено в G и определяется в нем как полный прообраз . Так как ле-воинвариантные формы qk, qa на группе Ли G подчиняются уравнениям Маурера — Картава (1) где — структурные константы группы Ли, то ограничение форм qk, qa на подрас-слоение G(p, М), т. е. формы wk, wa, будет подчиняться таким же уравнениям, но, сверх того, среди форм wk возникнут линейные зависимости (2) где wa — формы, оставшиеся вместе с wa линейно независимыми на главном расслоенном пространстве , а — функции, также определенные на расслоении реперов нулевого порядка Функции являются координатами касательной плоскости подмногообразия , зависящими от точки и репера Касательные плоскости образуют сечение грассманова расслоения m-плоскостей, проходящих через точки подмногообразия . Расслоение является присоединенным к главному расслоению Структура функций характеризуется уравнениями (3) явный вид к-рых можно получить внешним дифференцированием уравнений (2) с помощью (1) и последующим применением леммы Картана. Функций являются относительными координатами 1-струи сечения f по отношению к подвижному реперу точки . Геометрич. объект образует также сечение соответствующего расслоенного пространства , присоединенного к главному расслоению . Аналогичным образом возникает сечение с координатами образующего его геометрич. объекта, а также его последующие продолжения , к-рым соответствуют дифференциальные продолжения уравнений (3). До тех пор пока расслоение , к-рому принадлежит сечение , является однородным, возможна редукция главного расслоения реперов к нек-рой подгруппе , определяемая по Картану с помощью нек-рой фиксации относительных координат геометрич. объекта , не зависящей от точки Так определяется частичная канонизация репера. Реперы наз. полуканоническими реперами порядка q+1 данного подмногообразия . Если же следующее продолжение дает геометрич. объекты, группа стационарности к-рых содержит лишь тождественное преобразование, то возможна фиксация лишь части координат геометрич. объекта сечения , не зависящая от точки х, после чего оставшаяся часть координат L геометрич. объекта зависит только от . Таким образом возникает сечение расслоения реперов нулевого порядка подмногообразия . Репер R=s(x).этого сечения наз. каноническим репером подмногообразия , или сопровождающим репером этого подмногообразия. Описанный выше процесс продолжения уравнений (3) и выбранный способ фиксации функций приводит к уравнениям (4) связывающим линейные формы wk, wa на сечении s(M). Поле канонич. репера строится не однозначно, а зависит от произвола фиксации относительных координат геометрич. объекта . Важно лишь то, что часть коэффициентов уравнения (4) имеет постоянные (при желании наиболее простые) числовые значения, тогда как другая часть их образует дифференциальные инварианты подмногообразия , определяющие его с точностью до преобразования в Х п. Канонич. реперы сечения s(M).являются аналогом классич. примера — сопровождающего репера Френе кривой евклидова пространства, а уравнения (4) соответствуют уравнениям Френе кривой. На пути канонизации репера могут возникать осложнения, связанные с неоднородностью расслоений и разнотипностью в этом смысле различных подмногообразий Мв Х п и даже их отдельных кусков. На этом и основывается классификация различных типов точек и различных классов подмногообразий в Х n. Благодаря этим особенностям П. р. м. сыграл плодотворную роль в изучении подмногообразий в разнообразных однородных пространствах и, кроме того, указал путь к развитию современных методов исследования самых общих дифференциально-геометрич. структур на гладких многообразиях. Лит.:[1] Картан Э., Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера, пер. с франц., М., 1963; [2] Фавар Ж., Курс локальной дифференциальной геометрии, пер. с франц., М., I960; [3] Картан А., Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы, пер. с франц., М., 1971; [4] Фиников С. П., Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии, М.- Л., 1948. Е. Л. Евтушик.