Подмодуль

Подмножество модуля, являющееся подгруппой его аддитивной группы и замкнутое относительно умножения на элементы основного кольца. В частности, левый (правый) идеал кольца R является П. левого (правого) R-модуля R. П., отличный от всего модуля, наз. собственным. Множество П. данного модуля, упорядоченное по включению, является полной дедекиндовой решеткой (см. Вполне приводимый модуль). Если j — гомоморфизм модуля Ав модуль В, то множество оказывается П. модуля Аи наз. ядром гомоморфизма j. Каждый П. служит ядром некоторого гомоморфизма. П. наз. большим (или существенным), если он имеет ненулевое пересечение с любым другим ненулевым П. Напр., целые числа образуют большой П. группы рациональных чисел. Каждый модуль является большим П. своей инъективной оболочки (см. Инъективный модуль). Амодуля Вназ. малым (или несущественным), если для любого подмодуля равенство А+А'=В влечет А'=В. Малым оказывается, напр., всякий собственный П. цепного модуля. Малый П. образуют необратимые элементы локального кольца. Сумма всех малых П. совпадает с пересечением всех максимальных П. Левый идеал Iпринадлежит радикалу Джекобсона тогда и только тогда, когда IM мал в Мдля всякого конечно порожденного левого модуля М. Элементы малого П. являются необразующими, т. е. любая система образующих модуля остается таковой после удаления любого из этих элементов (это, конечно, не означает, что их можно удалить все сразу!). Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов модуля совпадает с множеством эндоморфизмов, имеющих малый образ. Лит.:[1] Каш Ф., Модули и кольца, пер. с нем., М., 1981; [2] Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1-2, М., 1977 — 79. Л. А. Скорняков.