Подгрупп Система

Множество подгрупп группы G, удовлетворяющее условиям: 1) содержит единичную подгруппу 1 и саму группу G, 2) линейно упорядочено по вложению, т. е. для всяких А, В из либо , либо . Говорят, что подгруппы А, А' из составляют скачок, если А' непосредственно следует за Л в . П. с., замкнутая относительно объединений и пересечений, наз. полной. Полная П. с. наз. субнормальной, если для всякого скачка А, А' этой системы Аявляется нормальной подгруппой в А'. Факторгруппы А'/А наз. факторами системы . П. с., все члены к-рой суть нормальные подгруппы группы G, наз. нормальной. В случае, когда одна субнормальная система содержит (в теоретико-множественном смысле) другую, первую из них наз. уплотнением второй. Нормальная П. с. наз. центральной, если все ее факторы центральны, т. е. А'/А содержится в центре G/A для всякого скачка А, А'. Субнормальная П. с. наз. разрешимой, если все ее факторы абелевы. Наличие в группе тех или иных П. с. выделяет в классе всех групп различные подклассы, наиболее употребительны из к-рых — классы К уроша — Черникова: RN- группа -обладает разрешимой субнормальной П. с.; — группа — обладает разрешимой субнормальной П. с., вполне упорядоченной по возрастанию; — группа — всякую субнормальную П. с. этой группы можно уплотнить до разрешимой субнормальной; RI -группа — обладает разрешимой нормальной П. с.; — группа — обладает разрешимой нормальной П. с., вполне упорядоченной по- возрастанию; — группа — всякую нормальную П. с. этой группы можно уплотнить до разрешимой нормальной; Z — группа — обладает центральной П. с.; ZA- группа — обладает центральной П. с., вполне упорядоченной по возрастанию; ZD — группа — обладает центральной П. с., вполне упорядоченной по убыванию; -группа — всякую нормальную П, с. такой группы можно уплотнить до центральной; -группа — через всякую подгруппу такой группы проходит субнормальная П. с.; N- группа — через всякую подгруппу такой группы проходит субнормальная П. с., вполне упорядоченная по возрастанию. Частный случай П. с.- подгрупп ряды. Лит.:[1] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [2] Черников С. Н., Группы с заданными свойствами системы подгрупп, М., 1980; [3] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И., Основы теории групп, 3 изд., М., 1982. Н. С. Романовский.