Подчинения Принцип

Одна из форм Линделёфа принципа, использующая понятие подчинения функций. Пусть w(z) -любая функция, регулярная в круге |z|<1 и удовлетворяющая условию: w(0)=0, |w(z)|<l в |z|<1; пусть функция F(z)мероморфна в |z|<l. Если функция f(z) имеет вид f(z)=F(w(z)), то f(z) наз. подчиненной функции F(z) в круге |z|<1, a F(z) — подчиняющей функцией. Это отношение подчинения обозначается через f(z)F(z). В простейшем случае, когда F(z) — однолистная функция в |z|<l, указанное отношение означает просто, что f(0)=F(0) и что функция f(z) не принимает в круге |z|<1 тех значений, к-рых в нем не принимает функция F(z). Имеют место следующие основные теоремы. Теорема 1. Пусть функция w=F(z) мероморфна в круге |z|<1 и отображает его на риманову поверхность G(F). Пусть Gr(F) — часть G(F), соответствующая |z|r, r<1. Если f(z)F(z), то значения f(z) в 1г(при аналитическом продолжении из f(0)=F(0)).лежат в Gr(F), причем граничные точки Gr(F).достигаются только для f(z)=F(ez), |e| = l (см. [2]). Теорема 2. Если f(z)F(z).и F(z).регулярна в |z|r, r<1, то, полагая имеем (см. [1]). Теорема 3. Если f(z)F(z).и F(z) регулярна в z=0, то для коэффициентов разложений f(z) имеем (см. [2]). Общая теория подчинения полезна при рассмотрении вопроса о множестве значений, принимаемых (или выпускаемых) аналитич. цией. Отношение подчинения можно использовать в двух различных направлениях. Во-первых, можно исходить из заданной функции F(z).и изучать свойства всех функций f(z), подчиненных F(z). Если при этом подчиняющая функция F(z).полностью известна, то известна и область Gr(F), в к-рой лежат значения f(z) (теорема 1), и верхняя граница интегральных средних М l(r, f) (теорема 2). Если, кроме того, F(z).регулярна в z=0, то имеем верхние границы для коэффициентов функции f(z) (теорема 3). Во-вторых, можно рассмотреть какую-либо мероморфную в круге |z|<l функцию f(z), из свойств к-рой следует невозможность ее подчинения в |z|<1 надлежащей функции F(z). Если при этом F(z), напр., однолистна, то f(z) необходимо принимает в |z|<l значения вне G(F). Эти идеи использования отношения подчинения и выражают П. п. П. п. можно распространять и на многосвязные области (см. [3]). Лит.:[1] Littlеwооd J. Е., "Ргос. Lond. Math. Soc. (2)", 192^, v. 23, p. 481-519; [2] Rogosinski W., "Proc. Camb. Philos. Soc.", 1939, v. 35, p. 1-26; [3] Аленицын Ю. Е., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1961, т. 60, с. 5-21; [4] Rogosinski W., "Schr. Konigs. Gelehrt. Gesellsch. Naturwiss. Kb", 1931, Jg. 8, H. 1, S. 1-31; [5] Rogosinski W., "J. Lond. Math. Soc.", 1939, v. 14, № 53, p. 4-11; [6] его же, "Proc. Lond. Math. Soc.", 1943, v. 48, p. 48-82; [7] Littlewood J. E., Lectures on the theory of functions, L., 1944; [8] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966, с. 356-57, 606-09. Ю. Е. Аленицын.