Плюккера Интерпретация

Модель, реализующая геометрию трехмерного проективного пространства Р 3 в гиперболич. пространстве 3S5. П. и. основана на специальном истолковании плюккеровых координат прямой, определяемых для любой прямой пространства Р 3. При проективных преобразованиях пространства Р 3 плюккеровы координаты преобразуются линейно. С помощью плюккеровых координат прямых пространства Р 3 устанавливается взаимно однозначное соответствие между прямыми пространствами Р 3 и точками проективного пространства Р 5, координаты к-рых численно равны плюккеровым координатам прямых пространства Р 3. Прямые пространства Р 3 изображаются точками невырожденной квадрики пространства P5, индекс к-рой равен трем. Если считать эту квадрику за абсолют и определить в пространстве Р 5 проективную (неевклидову) метрику, то получается пятимерное гиперболич. пространство 3S5. При каждой коллинеации и корреляции пространства Р 3 происходит линейное преобразование плюккеровых координат, т. е. каждая коллинеация н корреляция изображаются коллинеацией пространства Р 5, переводящей в себя абсолют. Эти коллинеации тем самым являются перемещениями пространства 3S5. Перемещения пространства 3S5 изображают или коллинеации или корреляции пространства Р 3. Каждому линейному комплексу пространства Р 3 сопоставляется точка пространства 3S5. Проективную геометрию пространства Р 3 можно рассматривать как неевклидову геометрию гиперболич. пространства 3S5. Именно эта интерпретация геометрии пространства Р 3 в пространстве 3S6 наз. интерпретацией Плюккера в связи с ролью плюккеровых координат. Если в качестве основного образа пространства Р 3 берется прямая, то геометрию этого пространства можно рассматривать как геометрию на абсолюте пространства 3S5. Группа проективных преобразований пространства Р 3 изоморфна группе перемещений пространства 3S5, и всякому инволюционному проективному преобразованию пространства Р 3 соответствует инволюционное перемещение пространства 3S5. Напр., нуль-системе в пространстве Р 3 соответствует отражение от точки и от ее полярной гиперплоскости в пространстве 3S5; инволюционной гомологии в пространстве Р 3 соответствует гиперболический паратактич. сдвиг на полупрямую в пространстве 3S6 и т. д. Каждой связной компоненте группы проективных преобразований пространства Р 3 соответствует связная компонента группы перемещений пространства 3S5. 1) Коллинеациям пространства Р 3 с положительным определителем, включая тождественное преобразование, отвечают перемещения пространства 3S5 с определителем, равным +1 (сюда включаются тождественные преобразования). 2) Корреляциям пространства Р 3 с положительным определителем (включая нуль-систему) отвечают перемещения пространства 3S5 с определителем, равным — 1, переводящие собственную и идеальную области соответственно в себя (включая отражения от точки). 3) Коллинеациям пространства Р 3 с отрицательным определителем отвечают перемещения пространства 3S5 с определителем, равным +1, переводящие собственную область в идеальную и обратно, эта компонента содержит гиперболич. сдвиг на полупрямую. 4) Корреляциям пространства Р 3 с отрицательным определителем отвечают перемещения пространства 3S5 с определителем, равным -1, переводящие собственную область в идеальную и обратно. Образам симметрии, соответствующим в пространствах Р 3 и 3S5, сопоставляются числовые инварианты, между к-рыми существуют определенные связи. П. и. применяется в исследованиях групп перемещений трехмерных неевклидовых пространств S3, 1S3, 2S3, к-рые изоморфны определенным подгруппам группы перемещений пространства 3S6. Устанавливается также взаимосвязь групп движений этих трехмерных пространств (эллиптического, гииерболического) с группами перемещений пространств низших размерностей (см. Фубини интерпретация, Котельникова интерпретация). С помощью П. и. изучается интерпретация трехмерного симплектич. пространства Sp3 в пространстве 3S5. П. и. предложена Ю. Плюккером [1]. Лит.:[1] Р1uсkеr J., Neue Geometric des Raumes gеgrundet auf die Betrachtung dor geraden Linie als Raumelement, Lpz., 1868-69; [2] Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969; [3] Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М.- Л., 1939. Л. А. Сидоров.