Плюккера Формулы

Формулы, связывающие внешние, т. е. отвечающие проективным вложениям, и внутренние характеристики алгебраич. многообразий. Наиболее старыми и известными среди численных формул алгебраич. геометрии являются П. ф. для плоской приведенной и неприводимой кривой , к-рая имеет лишь обыкновенные двойные и каспидальные особые точки. Пусть d — степень кривой Z, т. е. число точек из Zна лрямой общего положения в , a d* — класс криво и Z, т. е. число прямых, касательных к Z в неособых точках и проходящих через одну и ту же фиксированную точку общего положения в СР 2. Основные две формулы Плюккера таковы: где g — род разрешения Xкривой Z,d- число обыкновенных двойных точек, a k- число касгшдальных точек. Формула (1) сводится к виду d* = d(d-1), если кривая Zнеособа. Другие классические П. ф. следуют из (1) и (2) по двойственности. Если Z — не прямая, тогда двойственная кривая Z* к Zопределяется как замыкание множества касательных к Z, рассматриваемых как точки двойственной плоскости . Теорема, принадлежащая Ю. Плюккеру (J. Plucker, см. [3]), состоит в том, что дважды двойственная кривая Z** совпадает с Z. Предполагая, что Z* имеет лишь d* обыкновенных двойных и k* каспидальных особых точек, получают формулы Число d* можно интерпретировать также как число бикасательных к Z, т. е. прямых, к-рые касаются Z ровно в двух различных и неособых точках, с порядком касания 2, a k* — как число точек перегиба. Четыре формулы (1), (2), (1)*, (2)* не независимы: из любых трех следует четвертая. Однако любые три из них независимы. Из них вытекают также следующие соотношения: Именно эти формулы были получены Ю. Плюккером вместе с формулами (1) и (1)* в 1834-39. В случае основного поля конечной характеристики П. ф. и теорема двойственности не всегда справедливы. Напр., в характеристике 2 все касательные к конике проходят через одну определенную точку, паз. странной точкой коники, поэтому двойственная кривая есть прямая. В характеристике 3: имеется неособая кубика только с тремя точками перегиба и даже с одной (по П. ф. их должно было бы быть девять). При правильной интерпретации d* формулы (1), (2) остаются справедливыми во всех характеристиках 2; в характеристике 2 их нужно заменить на Известно обобщение П. ф. на случай кривых в Р n с произвольными особенностями (см. [2]), а также на случай гиперповерхностей в Р n. Лит.:[1] Вerzоlari L., в кн.: Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften, Bd 32, Lpz., 1906; [2] Гриффитс Ф., Харрис Дж., Принципы алгебраической геометрии, т. 1-2, пер. с англ., М.. 1982; [3] Клейман С.