Плоский Морфизм

Морфизм схем такой, что для любой точки локальное кольцо является плоским над (см. Плоский модуль). Вообще, пусть — пучок -модулей, он наз. плоским над Yв точке , если — плоский модуль над кольцом . При нек-рых (довольно слабых) условиях конечности множество точек, в к-рых когерентный -модуль является плоским, открыто в X. Если при этом схема Yцелостна, то существует открытое непустое подмножество такое, что — П. м. над Yво всех точках, лежащих над U. П. м. конечного типа соответствуют интуитивному понятию непрерывного семейства многообразий. П. м. открыт и равноразмерен (т. е. размерность слоев f-1 (у) локально постоянна по ). Для многих гео-метрич. свойств множество точек , в к-рых слой f-1(f(x)).плоского морфизма обладает этим свойством, открыто в X. Если П. м. f собственный, то открытым является и множество точек , слои над к-рыми обладают этим свойством (см. [1]). П. м. применяются также в теории спуска. Морфизм схем наз. строго плоским, если он плоский и сюръективный. Тогда, как правило, для проверки какого-либо свойства нек-рого объекта над Yдостаточно проверить это свойство для объекта, полученного после строго плоской замены базы (см. [1]). В связи с этим представляют интерес критерии плоскостности морфизма (или -модуля ); при этом Yможно считать локальной схемой. Простейший критерий относится к случаю, когда база Yодномерна и регулярна: когерентный -модуль будет плоским тогда и только тогда, когда униформизирующая на Yимеет тривиальный аннулятор в . Общий случай в нек-ром смысле сводится к одномерному. Пусть Y — приведенная нётерова схема и для любого морфизма , где Z — одномерная регулярная схема, замена базы является П. м.; тогда f есть П. м. Другой критерий плоскостности требует, чтобы был универсально открыт, а Y и геометрич. слои — приведены. Лит.:[1] Grothendieck A., Dieudonne .Т., Elements de geometric algebrique, 4, "Publ. math. IHES", 1964, № 24; 1966, № 28; [2] Мамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968; [3] Rауnaud M., GrusonL., "Invent, math.", 1971, v. 13, p. 1-89. В. И. Данилов