Площадей Принцип

: площадь дополнения к образу области при ее отображении регулярной в ней функцией неотрицательна. Впервые П. п. использовал в 1914 Т. Гронуолл [1], к-рый доказал этим путем т. н. внешнюю теорему площадей для функций класса 2 — функций регулярных и однолистных в области D'= (см. Однолистная функция). Площадь s(CF(D')).дополнения для образа F(D') области D' при отображении определяется формулой и, следовательно, (1) С помощью неравенства (1) получены первые результаты для функций классов S и S, где S — класс функций , регулярных и однолистных в круге (см. Бибербаха гипотеза, Искажения теоремы). Доказана [2] более общая теорема площадей. Г. М. Голузин [3] распространил теорему площадей на р-листные функции в круге (см. Многолистная функция). Доказана следующая теорема площадей [4]: пусть — регулярная на функция, тогда (2) и знак равенства имеет место только в том случае, если площадь множества равна нулю. Под теоремой площадей в нек-ром классе однолистных функций — область (или в классе систем однолистных функций , n=1, 2, . . ., Bk- области), понимают обычно всякое неравенство, обладающее тем свойством, что знак равенства в нем имеет место в том и только в том случае, если площадь дополнения для f(B).(соответственно дополнения для ) равна нулю. Обычно такая теорема доказывается с помощью П. п. Именно, рассматривается произвольная регулярная функция Q(w).(или, более общо, имеющая регулярную производную) на и вычисляется площадь образа при отображении функцией Q. Таким образом, неравенство (2) есть нек-рая весьма общая теорема площадей в классе S. Пусть и Выбирая надлежащим образом функцию Q, регулярную на CF(D'), неравенство (2) можно записать в виде (3) где x р — произвольные числа, не равные одновременно нулю и такие, что Получены и более общие теоремы площадей в классе S (см. [5]). Теоремы площадей доказаны: для класса (а 1 ,..., а п).систем функций fk, конформно и однолистно отображающих круг D на области, попарно не имеющие общих точек,- неналегающие области (см. [6]); в классе S(В).(S(В), ,- класс функций F, регулярных и однолистных в и таких, что , см. [7]); для неналегающих многосвязных областей (см. [6], а также [8], [9]). Все теоремы площадей для многосвязных областей доказываются контурного интегрирования методом. Под методом площадей понимают способы решения различных задач теории однолистных функций, использующие теоремы площадей. Напр., из (3) с помощью неравенства Коши можно получить: где x р и x'q такие, что ряды, стоящие в правой части, сходятся. Если в неравенстве (4), напр., , , то получают теорему искажения хорд: Теоремы площадей, напр, в классе , дают необходимые и достаточные условия принадлежности системы мероморфных функций fk классу (см. [6] с. 179). Лит.:[1] Grоnwа11 Т. Н., "Ann. Math. Scr. 2", 1914/ 1915, v. 16, p. 72-76; [2] Prawitz H., "Arkiv mat., astron., fysik", 1927, Bd 20A, № 6, S. 1 — 12; [3] Голузин Г. М., "Матем. сб.", 1940, т. 8, № 2, с. 277-84; [4] Лебедев Н. А., Милин И. М., там же, 1951, т. 28, № 2, с. 359-400; [5] Nеhаri Z., "Arch. Ration. Mech. and Anal.", 1969, v. 34, № 4, p. 301 — 30; [6] Лебедев Н. А., Принцип площадей в теории однолистных функций, М., 1975; [7] Милин И. М., Однолистные функции и ортонормированные системы, М., 1971; [8] Аленицын Ю. Е., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1973, т. 37, № 5, с. 1132-54; [9] Гутлянский В. Я., Щепетов В. А., "Докл. АН СССР", 1974, т. 218, № 3, с. 509-12; [10] Grunskу Н., "Math. Z.", 1939, Bd 45, Н. 1, S. 29-61. Н. А. Лебедев.