Плеснера Теорема

Один из основных результатов в теории граничных свойств аналитических функций. Пусть f(z) — мероморфная функция в единичном круге — открытый угол с вершиной на окружности , образованный двумя хордами круга D, проходящими через . Точка наз. точкой Плеснера (или обладает свойством Плеснера), если в любом сколь угодно малом угле D для любого значения wиз расширенной комплексной плоскости существует последовательность такая, что Точка е iq наз. точкой Фату для f(z), если существует один единственный предел когда z стремится к внутри любого угла D. Теорема Плеснера; почти все точки окружности Г по мере Лебега на Г являются либо точками Фату, либо точками Плеснера. Доказана А. И. Плеснером (см. [1]). Известно также, что множество Р(f) всех точек Плеснера имеет тип Gd на Г. Построены примеры аналитич. ций в D, для к-рых множество Р(f).плотно на Г и имеет любую наперед заданную меру Лебега (см. [3]). П. т. верна для мероморфных функций f(z) в любой односвязной области Dсо спрямляемой границей Г. В этом случае есть точка Фату, если существует предел при стремлении по любому некасательному пути; определение точки Плеснера нужно изменить так, чтобы рассматривались углы Д с вершиной z и сторонами, образующими углы, меньшие p/2, с нормалью к Г в точке z (см. [2]). Аналогом П. т. в терминах категории множеств является Мейера теорема. Лит.:[1] Плеснер А. И., "Успехи матем. наун", 1867, т. 22, в. 1, с. 125-36; [2] Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М. -Л., 1950; [3] Ловатер Д ж., в кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 10, М., 1973, с. 99-259. Е. Д. Соломенцев.