Планшереля Теорема

Для каждой квадратично суммируемой функции интеграл сходится в L2 к нек-рой функции при , то есть При этом сама функция f(х).представляется как предел в L2 при интегралов то есть Кроме того, справедливо соотношение (формула Парсеваля — Планшереля). Функция где предел понимается в смысле сходимости в L2, наз. преобразованием Фурье функции f и обозначается обычным символом (1) при этом интеграл (1) понимается в смысле главного значения на в метрике L2. Аналогично истолковывается равенство (2) Для функции интегралы (1) и (2) существуют в смысле главного значения почти при всех х. Функции f и удовлетворяют почти при всех хтакже соотношениям Если обозначить преобразование Фурье, — его обращение, то П. т. перефразируется так: и — взаимно обратные унитарные операторы в L2. П. т. установлена М. Планшерелем (М. Plancherel, 1910). Лит.:[1] Зигмунд А,, Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 2, М., 1965; [2] Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.- Л., 1948; [3] Бохнер С., Лекции об интегралах Фурье, пер. с англ., М., 1902. П. И. Лизоркин.