Петерсона Соответствие

Соответствие двух поверхностей, при к-ром их касательные плоскости в соответствующих точках параллельны. В общем виде рассмотрено К. М. Петерсоном [1] в связи с задачей изгибания на главном основании. Напр., в П. с. находятся поверхность и ее сферич. образ, поверхность и ее индикатриса вращения, присоединенные минимальные поверхности. Если поверхности Sи S* имеют общую параметризацию, то их третьи квадратичные формы равны. Главная сеть асимптотич. сетей Sи S* сопряжена на каждой из них. Эта сеть определяется однозначно, если асимптотич. сети не имеют общих семейств линий; вырождается, если эти сети связанные; становится неопределенной, если эти сети соответствуют друг другу. Соответствующие касательные к линиям главной сети на Sи S* параллельны. Если главную сеть принять за координатную ( и, v), то радиус-векторы хи х* поверхностей Sи S* связаны уравнениями причем функции r, s удовлетворяют системе уравнений то есть r, sзависят только от метрики F( Е, F, G — коэффициенты ее первой квадратичной формы). Естественно поэтому применение П. с. к паре изометричных поверхностей : оно дает другую пару изометричных поверхностей с теми же нормалями соответственно. Кроме того, оказывается, что диаграммы поворота этих поверхностей одни и те же и что основание изометрии новых поверхностей имеет то же сферич. изображение, как и первоначальных. Напр., сфере и изометричной ей поверхности положительной постоянной кривизны отвечают при П. с. изометричные поверхности с соответствующими линиями кривизны — т. н. поверхности Бонне. В частности, если основание изометрии Sи S* было главным основанием, то оно и. остается таковым. Это — т. н. преобразование Петерсона поверхности, изгибаемой на главном основании в поверхность того же типа. Имеется обобщение этого преобразования на случай семейства сетей (см. [2]). Специальный случай П. с., при к-ром главная сеть является сетью кривизны одновременно на Sи на S*, наз. соответствием Комбескюра. Если П. с. является конформным, то либо одна из поверхностей минимальная, а другая — сфера (то есть П. с.- сферич. отображение), либо обе поверхности минимальные, а вектор конформного отображения удовлетворяет уравнению Лапласа, либо поверхности подобны, либо обе поверхности изотермические и находятся в соответствии Комбескюра. Имеется многомерное обобщение П. с. (см. [4]). Лит.:[1] Петерсон К. М., "Матем. сб.", 1866, т. 1, с. 391-438; [2] Шуликовский В. И., Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963; [3] Фиников С. П., Изгибание на главном основании и связанные с ним геометрические задачи, М.- Л., 1937; [4] Широков П. А., Широков А. П., Аффинная дифференциальная геометрия, М., 1959. М. И. Войцеховский.