Петера — Вейля Теорема

Теорема об аппроксимации функций на компактной топологич. группе представляющими функциями. Пусть p пробегает семейство S представителей всех классов эквивалентности неприводимых непрерывных унитарных представлений компактной группы G. Пусть dim p — размерность представления p и — его матричные элементы в нек-ром ортонормированием базисе. П. — В. т. утверждает, что функции вида образуют ортонормиррваиный базис в пространстве суммируемых с квадратом функций относительно меры Хаара на G(мера всей группы считается равной 1). Алгебра всех представляющих комплексных функций на G, совпадающая с множеством конечных линейных комбинаций функций , равномерно плотна в пространстве всех непрерывных комплексных функций на G. В случае, когда G= Т — группа вращений плоскости,- это утверждение совпадает с элементарной теоремой об аппроксимации периодических непрерывных функций тригонометрич. многочленами. В качестве следствия из П.- В. т. выводится, что совокупность линейных комбинаций характеров неприводимых представлений группы Gплотна в алгебре всех непрерывных функций на G, построенных на классах сопряженных элементов. Другое следствие состоит в том, что для любого элемента , найдется такое неприводимое непрерывное представление j группы G, что ; если же G — компактная группа Ли, то G допускает точное линейное представление. Из П.- В. т. вытекает также следующее, более общее, утверждение (см. [5], |0]). Пусть дано непрерывное линейное представление j компактной группы Gв пространстве Фреше Е, тогда подпространство представляющих элементов пространства Еплотно в Е. При этом элемент наз. представляющим, или сферическим, или почти инвариантным, если орбита порождает в Еконечномерное подпространство. Это, в частности, применимо к случаю, когда Е — пространство сечений нек-рого класса гладкости гладкого векторного G-расслоения, напр. пространство тензорных полей определенного типа и заданного класса гладкости на гладком многообразии с гладким действием компактной группы Ли G. П.- В. т. была доказана в 1927 Ф. Петером (F. Peter) и Г. Вейлем (Н. Weyl) (см. [1]). Лит.:[1] Петер Ф., В е и л ь Г., "Успехи матем. наук", 1936, в. 2, с. 144-60; [2] П о н т р я г и н Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [3] X ь ю и т т Э., Р о с с К., Абстрактный гармонический анализ, пер. с англ., т. 1, М., 1975; [4] Ш е в а л л е К., Теория групп Ли, пер. с англ., т. 1, М., 1948; [5] Р a l a i s R. S., S t e w a r t Т. Е., "Amer. J. Math.", 1961, V. 83, № 4, p. 623-44; [6] М о s t о w G. D., "Ann. Math.", 1961, V. 73, № 1, p. 20-48. А. Л. Онищик, А. И. Штерн.