Первый Интеграл

Обыкновенного дифференциального уравнения — отличная от постоянной и непрерывно дифференцируемая функция, производная к-рой вдоль решений данного уравнения тождественно равна нулю. Для скалярного уравнения (*) П. и. есть функция F(x, у), находящаяся в левой части общего решения F(x, y)=C, где С — произвольная постоянная. Таким образом, F(x, у).удовлетворяет линейному уравнению с частными производными 1-го порядка. П. и. может не существовать во всей области задания уравнения (*), однако в малой окрестности точки, в к-рой функция f(x, у).непрерывно дифференцируема, он всегда существует. П. и. определяется не единственным образом. Так, для уравнения П. и. является как функция x2+y2, так, напр., и функция Знание П. и. нормальной системы позволяет понизить порядок этой системы на единицу, а отыскание пфункционально независимых П. и. равносильно отысканию общего решения в неявном виде. Если — функционально независимые П. и., то всякий другой П. и. F(x, t).можно представить в виде где Ф — нек-рая дифференцируемая функция. Лит.:[1] Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974. Н. Н. Ладис.