Первая Квадратичная Форма

Метрическая форма, поверхности — квадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, к-рая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Пусть поверхность задана уравнением где ии v — внутренние координаты на поверхности; — дифференциал радиус-вектора r вдоль выбранного направления du: dv смещения из точки Мв бесконечно близкую точку М' (см. рис. 1). Квадрат главной линейной части приращения длины дуги ММ' выражается квадратом дифференциала dr: и наз. первой основной квадратичной формой поверхности. Коэффициенты П. к. ф. обычно обозначают через или в тензорных символах Тензор gij наз. основным, или метрическим, тензором поверхности. П. к. ф. является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности: П. к. ф. характеризует метрич. свойства поверхности: знание П. к. ф. позволяет вычислять длины дуг на поверхности: где t — параметр на кривой; углы между кривыми на поверхности: где и — направления векторов, касательных к кривым (см. рис. 2); площади областей на поверхности: Вид коэффициентов П. К. ф. существенно зависит от выбора координат на поверхности. П. к. ф. имеет т. н. ортогональный вид: в ортогональных координатах; канонический в и д в полугеодезич. координатах; изотермический (изометрический) вид в изотермич. координатах, Иногда поверхности характеризуются специальными видами П. к. ф. Напр., Лиувилля поверхности характеризуются следующим видом П. к. ф.: П. к. ф. является инвариантом изгибания поверхности: полная кривизна поверхности в данной точке может быть вычислена через коэффициенты только П. к. ф. и их производные (теоремы Гаусса). О связи П. к. ф. с другими квадратичными формами поверхности и лит. см. в ст. Квадратичные формы поверхности. А. В. Иванов