Перрона — Фробениуса Теорема

: пусть действительная квадратная -матрица А, рассматриваемая как оператор в пространстве , не имеет инвариантных координатных подпространств (такая матрица наз. неразложимой) и неотрицательна (т. е. все ее элементы неотрицательны). И пусть — ее собственные значения, занумерованные так, что Тогда: 1) число r=|l1| -простой положительный корень характеристич. многочлена матрицы А; 2) существует собственный вектор матрицы Ас положительными координатами, соответствующий r; 3) числа совпадают с точностью до нумерации с числами где ; 4) произведение любого собственного значения матрицы Ана ш есть собственное значение матрицы А; 5) при h>1 найдется перестановка строк и столбцов, приводящая матрицу Ак виду где Aj — матрицы порядка nh-1.0. Перрон доказал в [1] утверждения 1) и 2) для положительных матриц, а в полном объеме приведенную теорему доказал Ф. Фробениус в [2]. Лит.:[1] Реrrоn О., "Math. Ann.", 1907, Bd 64, S. 248- 263; [2] Frоbenius G., "Sitzungsber. der Kgl. Prcuss. Akad. Wise.", 1912, S. 456-77; [3] Гантмaxep Ф. P., Теория матриц, 3 изд., М., 1967. Д. А. Супруненко.