Переопределенная Система

Система, число уравнений к-рой больше числа неизвестных. В линейном случае такие системы задаются прямоугольной -матрицей, m<n, где m — число уравнений, а п — число неизвестных. Для П. с. первоочередным является вопрос ее разрешимости, выражаемый в условиях совместности. Напр., П. с. линейных алгебраич. уравнений разрешима тогда и только тогда, когда ранги основной матрицы и расширенной матрицы, полученной приписыванием к Астолбца свободных членов, совпадают. Для П. с. линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (1) где Pij — многочлен от одного (обыкновенное уравнение) или нескольких (уравнение с частными производными) переменных, a D — символ дифференцирования, условие совместности выражается в виде однородной системы уравнений с постоянными коэффициентами (2) где матрица qнаходится по матрице рс помощью алгебраич. соображений, Для П. с. (1) дифференциальных уравнений с частными производными с переменными коэффициентами Pij=Pij(x, D).отыскание условий совместности, имеющих вид (2) с , является значительно более трудной задачей. Простейшим примером П. с. служит система дифференциальных уравнений Условия совместности для этой системы, необходимые и достаточные для ее разрешимости, имеют вид Аналитич. функции многих комплексных переменных можно также рассматривать как решения П. с. уравнений где Лит.:[1] Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; [2] Паламодов В. В., в сб.: Итоги науки. Математический анализ. 1968, М., 1969, с. 5-37. А. П. Солдатов.