Переноса Уравнения

Численные методы решения — методы решения интегро-дифференциальных уравнений, описывающих перенос частиц или излучения. Для стационарных задач уравнения имеют вид (1) где , — единичный вектор, — поток частиц в точке х, летящих со скоростью vW;положительные функции описывают взаимодействие частиц с веществом, а f — источник. Рассматривают две основные задачи: 1) найти решение уравнения (1) в (выпуклой) области D( х, у, z).такое, что на ее границе Г (2) где n — внешняя нормаль к Г; 2) найти наибольшее собственное значение l1 и соответствующую собственную функцию задачи (1) — (2), в к-рой (3) Уравнение (1) содержит шесть независимых переменных; из-за существенной многомерности его сводят к более простым уравнениям. Заменяя в (1), (3) интеграл по v' квадратурной формулой с Nчленами и предполагая изотропность рассеяния, получают систему т. н. многоскоростных уравнений; (4) где — нулевые моменты, а коэффициенты подучены применением методов усреднения с использованием решений сопряженных задач. Для задачи 2) аналогично получают, что (5) Для N=1 получают односкоростное уравнение (6) для функции . Уравнение (6) для плоского слоя , когда решение зависит только от одной координаты хи одной угловой переменной , имеет вид (7) где . Характеристиками левой части (6) являются все прямые ; вдоль каждой из них уравнение (6) принимает вид (8) Если в (6) сделать замену , то оно принимает вид (9) Решение уравнения (9) минимизирует квадратичный функционал Владимирова: (10) где Пусть краевые задачи записаны в операторной форме (11) Характерным свойством задач переноса, используемым в численных алгоритмах, является то, что значение находится по заданному y прямым методом путем интегрирования (8) вдоль характеристик. Учитывая это, из (11) получают т. н. интегральное уравнение Пайерлса (12) для нулевого момента Sj. Для решения задач переноса существенное развитие получил метод сферических гармоник (являющийся вариантом метода Галеркина). Приближенное решение ( Р n -приближение) находят в виде (13) где — неизвестные функции, а — сферич. гармоники k-гo порядка. Подставляя (13) в (6), умножая результат на и интегрируя по W, получают систему уравнений с частными производными для определения . В Р 1 приближении система имеет вид (14) где . При из (14) получают диффузионное приближение (15) где . Это — эллиптич. задача, решение к-рой находят, применяя вариационные или сеточные методы. Для решения одномерных задач развиты аналитич. методы, основанные на разложении решения по обобщенным собственным функциям. Для нахождения значений функционалов от решений сложных многомерных задач применяют Монте-Карло метод. Широкое распространение получили методы конеч-норазностных аппроксимаций уравнения переноса. Так, используя квадратурную формулу для области D, заменяют интегральное уравнение (12) системой линейных уравнений. В уравнениях (4), (5), (6), (8) для аппроксимации интегрального оператора применяют квадратурные формулы для сферы. Известны Гаусса квадратурные формулы для сферы до 35-го алгебраич. порядка точности. В методе характеристик через каждую точку пространственной сетки проводят семейство характеристик по направлениям, соответствующим узлам квадратуры для сферы, и заменяют дифференциальный оператор Lв (8) разностным. Разностные уравнения Sn -метода получают интегрированием уравнения (6) по сеточной ячейке фазового пространства, предполагая линейность решения в пределах ячейки по независимым переменным. В методе Галеркина решение ищут в виде (16) Если jn(x).заданы, то для определения gn(W).получают систему вырожденных интегральных уравнений; если jn (х) — финитные функции, то получают метод конечных элементов; если gn(W) — заданные финитные функции и выражение (16) минимизирует функционал (10), то получают так наз. PNJ- уравнения. Итерационные методы решения разностных задач перелоса обладают своей спецификой; она заключается в том, что сходимость итерационных методов, как правило, замедляется при , а для нахождения следующего приближения используют только часть информации о предыдущем приближении существенно меньшей размерности — запоминают и используют лишь значения . В итерационных методах в качестве промежуточной операции (операции К).часто входит решение следующей задачи (17) Тогда ошибка удовлетворяет (11) с независящим от Wисточником и невязка тоже не зависит от W. Это свойство позволяет ускорить сходимость итераций. Пусть задана периодич. задача для уравнения (7) с постоянными коэффициентами, четным по m источником и H=2p. Применительно к этой задаче ниже рассмотрены следующие итерационные методы. Для уравнения (7) строится сетка с N узлами по хи Мугловыми направлениями по m. Пусть Для сходящихся итерационных методов , где . Пусть Ц 0 — цена (количество действий) операции К, Ц — цена полной итерации, а D=Ц — Ц 0. Для различных методов имеют место следующие соотношения. 1) Простая итерация: ; для нее D=0, q=с. 2) Метод Люстерника: для нек-рых kполагают в простой итерации , где — наибольшее собственное значение задачи ; тогда при , 3) Метод оценки итерационных отклонений: , где — решение уравнения тогда ( при ). 4) Метод с балансовыми множителями: , где для него при 5) Метод средних потоков (метод ребаланса): функцию vk выбирают, чтобы минимизировать функционал (10) или чтобы минимизировать его на нек-ром конечномерном подпространстве: , тогда а i удовлетворяют определенной системе уравнений. 6) Метод квазидиффузии: где тогда 7) Методы расщепления: где Методы 4) — 6) — нелинейные, их сходимость может замедляться при ; метод 7) требует запоминания при 8) К Р — методы: поправку определяют как решение в Dкраевой задачи (18) где Qn, Р n — линейные дифференциальные операторы 2-го порядка, и полагают . В одном из вариантов KР-метода уравнение (18) имеет вид (19) Для уравнения (19) D=0(N); q=0, 186с при =0,843, а при , где — корни многочлена Якоби , b>0, среднегеометрическое за Nитераций значение qблизко к 0,15с. В KР-методе сходимость итераций не замедляется при . Для решения многоскоростной задачи (4) применяют итерационный метод Зейделя: (20) а решение в каждом уравнении (20) находят итерационным методом для односкоростного уравнения. Для решения многоскоростных задач на собственные значения (4), (5) к описанным двум итерационным циклам добавляют еще один внешний для нахождения максимального значения и соответствующей собственной функции j. Если , то задача (4), (5) преобразуется в задачу (21) Для нахождения l1 и j применяют итерационные методы с чебышевскими параметрами (22) где (23) — параметры. Предполагая неотрицательность спектра, сначала находят l1 и l2- наибольшие собственные значения (21), считая, что т=0, М=а, где — оценка снизу для ll и беря за T -последовательность (см. ниже). Значения l1, l2 определяют т. н. обобщенным методом Эйткена, учитывающим сдвиги . После нахождения l1,l2 функцию j находят по формулам (22), (23), полагая M=l2. Бесконечная Т- последовательность образована, соответственно, из специальным образом упорядоченных корней многочленов Чебышева 1-го рода ; начальный отрезок /-последовательности длины 2.3n состоит из всех чисел вида , Любой отрезок T-последовательности длины 2.3n обеспечивает оптимальное в нек-ром смысле подавление ошибки и устойчивость в итерационном методе (22), (23). Для решения нестационарных задач применимы: метод характеристик в пространстве ( х, t), метод Галеркина и конечноразностные методы, сводящиеся к явным и неявным по разностным схемам или к методам расщепления оператора. В случае неявных схем для нахождения решения на верхнем слое может быть применен KР-метод. Лит.:[1] Владимиров В. С., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1961, т. 61, с. 1-158; [2] Марчук Г. И., Лебедев В. И., Численные методы в теории переноса нейтронов, 2 изд., М., 1981; [3] Лебедев В. И., Финогенов С. А.,"Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1976, т. 16, № 4, с. 895-1)07; [4] Лебедев В. И,, там же, 1977, т. 17, М" 1, с. 100-108. В. И. Лебедев.