Переходных Операторов Полугруппа

Полугруппа операторов, порождаемых переходной функцией марковского процесса. По переходной функции P(t, х, А).однородного марковского процесса Х=( х t, ) в фазовом пространстве можно построить нек-рые полугруппы линейных операторов Pt, действующих в том или ином банаховом пространстве (см., напр., [1]). Чаще всего в роли берут пространство ограниченных действительных функций f на Ес равномерной нормой (а для феллеровского процесса X- пространство непрерывных функций с той же нормой) или пространство V(Е).конечных счетно аддитивных функций j на с полной вариацией в качестве нормы. В первых двух случаях полагают в третьем (здесь f и j принадлежат соответствующим пространствам, ). Во всех этих случаях выполнено полугрупповое свойство: , и любая из трех полугрупп наз. полугруппой переходных операторов. В дальнейшем речь идет только о первом случае. Инфинитезимальный оператор Аполугруппы (он же — инфинитезимальный оператор процесса) определяется обычным образом: для всех тех , для к-рых указанный предел существует как предел в . Предполагая, что P(t, х, А).при является измеримой функцией пары переменных (t, х), вводят резольвенту Ra процесса X,a>0: (*) Если при , то Ag=ag-f, где g=Raf. При определенных предположениях интеграл (*) существует и при a=0, причем g=R0f удовлетворяет "уравнению Пуассона" Ag = -f (но этой причине, в частности, R0f наз. потенциалом функции f) Знание инфинитезимального оператора позволяет найти важные характеристики исходного процесса; более того, вопросы классификации марковских процессов сводятся к описанию соответствующих им инфинитезимальных операторов (см. [2], [3]). Немаловажно и то обстоятельство, что инфинитезимальный оператор входит в уравнения, позволяющие находить средние значения различных функционалов от процесса. Так, при нек-рых предположениях функция является единственным не слишком быстро растущим по tрешением задачи , где — математич. ожидание, отвечающее , Оператор Ародственен характеристическому оператору (см. [2]). Пусть X — непрерывный справа марковский процесс в топологич. пространстве Е, Для борелевской функции f полагают если предел существует для всех , где Uпробегает систему окрестностей точки х, стягивающихся к х, и где t — момент первого выхода Xиз U(при дробь, стоящую под знаком предела, приравнивают нулю). Во многих случаях вычисление Af сводится к вычислению . Лит.:[1] Feller W., "Ann. Math.", 1952, v. 55, p. 468 — 519; [2] Дынкин Е. Б., Основания теории марковских процессов, М., 1959; [3] Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессом, т. 2, М., 1973. М. Г. Шур.